Номер 12, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 12, страница 42.

Условие.

12. Представьте в виде степени рациональной дроби:

a) $\frac{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{x + \frac{12}{x} + 6 + \frac{8}{x^2}} = $

б) $\frac{\frac{b-2x}{b} + \frac{8x}{b-2x}}{\frac{b+2x}{b} - \frac{8x}{b+2x}} = $

Решение.

Решение 2.

а) Преобразуем числитель и знаменатель исходной дроби. Сначала приведем к общему знаменателю $x^2$ выражение в числителе:
$ \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = \frac{1 \cdot x}{x \cdot x} + \frac{2}{x^2} = \frac{x+2}{x^2} $
Теперь приведем к общему знаменателю $x^2$ выражение в знаменателе:
$ x + 6 + \frac{12}{x} + \frac{8}{x^2} = \frac{x \cdot x^2 + 6 \cdot x^2 + 12 \cdot x + 8}{x^2} = \frac{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}{x^2} $
Заметим, что числитель полученной дроби $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ является полным кубом, который можно свернуть по формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$ x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = (x+2)^3 $
Таким образом, знаменатель исходной дроби равен $ \frac{(x+2)^3}{x^2} $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{\frac{x+2}{x^2}}{\frac{(x+2)^3}{x^2}} $
Для деления дробей умножим числитель на дробь, обратную знаменателю, и сократим:
$ \frac{x+2}{x^2} \cdot \frac{x^2}{(x+2)^3} = \frac{x+2}{(x+2)^3} = \frac{1}{(x+2)^2} $
Представим полученное выражение в виде степени рациональной дроби:
$ \frac{1}{(x+2)^2} = (\frac{1}{x+2})^2 $
Ответ: $ (\frac{1}{x+2})^2 $

б) Преобразуем числитель и знаменатель сложной дроби по отдельности. Сначала преобразуем числитель, приведя дроби к общему знаменателю $b(b-2x)$:
$ \frac{b-2x}{b} + \frac{8x}{b-2x} = \frac{(b-2x)(b-2x) + 8x \cdot b}{b(b-2x)} = \frac{b^2 - 4bx + 4x^2 + 8bx}{b(b-2x)} = \frac{b^2 + 4bx + 4x^2}{b(b-2x)} $
Числитель полученной дроби $b^2 + 4bx + 4x^2$ является полным квадратом, который можно свернуть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$ \frac{(b+2x)^2}{b(b-2x)} $
Теперь преобразуем знаменатель исходной дроби, приведя дроби к общему знаменателю $b(b+2x)$:
$ \frac{b+2x}{b} - \frac{8x}{b+2x} = \frac{(b+2x)(b+2x) - 8x \cdot b}{b(b+2x)} = \frac{b^2 + 4bx + 4x^2 - 8bx}{b(b+2x)} = \frac{b^2 - 4bx + 4x^2}{b(b+2x)} $
Числитель полученной дроби $b^2 - 4bx + 4x^2$ является полным квадратом, который можно свернуть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$ \frac{(b-2x)^2}{b(b+2x)} $
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$ \frac{\frac{(b+2x)^2}{b(b-2x)}}{\frac{(b-2x)^2}{b(b+2x)}} = \frac{(b+2x)^2}{b(b-2x)} \cdot \frac{b(b+2x)}{(b-2x)^2} = \frac{(b+2x)^2(b+2x)}{(b-2x)(b-2x)^2} = \frac{(b+2x)^3}{(b-2x)^3} $
Представим результат в виде степени рациональной дроби:
$ (\frac{b+2x}{b-2x})^3 $
Ответ: $ (\frac{b+2x}{b-2x})^3 $