Номер 6, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 6, страница 39.

Условие.

6. Докажите, что при любом положительном значении m значение выражения

$\left(\frac{m-2}{m} - \frac{3}{m+2} + 1\right) : \frac{2m}{m+2} - \frac{2m^2+m+4}{2m^2}$

является отрицательным числом.

1) $\frac{m-2}{m} - \frac{3}{m+2} + 1 = \frac{(m-2)(m+2)-3m+m(m+2)}{m(m+2)}$

Решение.

Решение 2.

Для доказательства того, что значение выражения является отрицательным числом при любом положительном $m$, необходимо упростить это выражение и проанализировать знак результата. Будем выполнять действия по порядку.

1) Сначала выполним действия в скобках: $ \left(\frac{m-2}{m} - \frac{3}{m+2} + 1\right) $.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $ m(m+2) $:

$ \frac{(m-2)(m+2)}{m(m+2)} - \frac{3 \cdot m}{m(m+2)} + \frac{1 \cdot m(m+2)}{m(m+2)} = \frac{(m-2)(m+2) - 3m + m(m+2)}{m(m+2)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ (m^2 - 4) - 3m + m^2 + 2m = 2m^2 - m - 4 $

Результат первого действия: $ \frac{2m^2 - m - 4}{m(m+2)} $.

2) Теперь выполним деление результата первого действия на дробь $ \frac{2m}{m+2} $:

$ \frac{2m^2 - m - 4}{m(m+2)} : \frac{2m}{m+2} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ \frac{2m^2 - m - 4}{m(m+2)} \cdot \frac{m+2}{2m} $

Сократим на общий множитель $ (m+2) $. Это допустимо, так как по условию $ m > 0 $, а значит $ m+2 \ne 0 $.

$ \frac{2m^2 - m - 4}{m \cdot 2m} = \frac{2m^2 - m - 4}{2m^2} $

3) Последним действием выполним вычитание:

$ \frac{2m^2 - m - 4}{2m^2} - \frac{2m^2+m+4}{2m^2} $

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычтем их числители:

$ \frac{(2m^2 - m - 4) - (2m^2+m+4)}{2m^2} = \frac{2m^2 - m - 4 - 2m^2 - m - 4}{2m^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{-2m - 8}{2m^2} $

Вынесем общий множитель $-2$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$ \frac{-2(m+4)}{2m^2} = -\frac{m+4}{m^2} $

4) Мы упростили исходное выражение до вида $ -\frac{m+4}{m^2} $. Теперь докажем, что его значение отрицательно при любом положительном значении $ m $.

По условию задачи $ m > 0 $.

• Рассмотрим числитель дроби $ (m+4) $. Так как $ m > 0 $, то $ m+4 > 0+4 $, то есть $ m+4 > 4 $. Следовательно, числитель всегда является положительным числом.
• Рассмотрим знаменатель дроби $ m^2 $. Так как $ m > 0 $, то и квадрат этого числа $ m^2 $ также будет положительным.

Таким образом, дробь $ \frac{m+4}{m^2} $ представляет собой частное двух положительных чисел, поэтому её значение всегда положительно при $ m > 0 $.

Все выражение равно $ -\frac{m+4}{m^2} $. Так как дробь $ \frac{m+4}{m^2} $ положительна, то выражение с минусом перед ней будет всегда отрицательным.

Ответ: В результате упрощения исходное выражение приводится к виду $ -\frac{m+4}{m^2} $. Поскольку по условию $ m $ является положительным числом ($ m > 0 $), то числитель $ m+4 $ и знаменатель $ m^2 $ также положительны. Следовательно, дробь $ \frac{m+4}{m^2} $ всегда положительна. Это означает, что значение всего выражения $ -\frac{m+4}{m^2} $ всегда отрицательно, что и требовалось доказать.