Номер 14, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 14, страница 36.

Условие.

14. Докажите, что значение выражения $ \frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 + 10x + 21} : \frac{x - 3}{(2x + 6)^3} $ неотрицательно при всех допустимых значениях переменной $x$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства того, что значение выражения неотрицательно при всех допустимых значениях переменной $x$, необходимо упростить данное выражение и проанализировать полученный результат.

Рассмотрим выражение: $\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 + 10x + 21} \div \frac{x-3}{(2x+6)^3}$.

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Значение выражения определено, если знаменатели дробей и сам делитель не обращаются в ноль.

1. Знаменатель первой дроби: $x^2 + 10x + 21 \neq 0$. Решив уравнение $x^2 + 10x + 21 = 0$, находим корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -3$. Значит, $x \neq -7$ и $x \neq -3$.

2. Знаменатель второй дроби: $(2x+6)^3 \neq 0$, что равносильно $2x+6 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

3. Делитель $\frac{x-3}{(2x+6)^3}$ не равен нулю, что означает, что его числитель не равен нулю: $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое действительное число, кроме $-7, -3$ и $3$.

Теперь упростим выражение. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

Числитель $x^2 + 4x - 21$: корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$ это $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$. Следовательно, $x^2 + 4x - 21 = (x-3)(x+7)$.

Знаменатель $x^2 + 10x + 21 = (x+3)(x+7)$, как мы уже выяснили при нахождении ОДЗ.

Знаменатель второй дроби также преобразуем: $(2x+6)^3 = (2(x+3))^3 = 8(x+3)^3$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение и заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{(x-3)(x+7)}{(x+3)(x+7)} \cdot \frac{8(x+3)^3}{x-3}$

Учитывая ОДЗ ($x \neq -7, x \neq 3, x \neq -3$), мы можем сократить общие множители:

$\frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+7)}}{(x+3)\cancel{(x+7)}} \cdot \frac{8(x+3)^3}{\cancel{x-3}} = \frac{1}{x+3} \cdot 8(x+3)^3 = 8(x+3)^2$

В результате упрощения мы получили выражение $8(x+3)^2$. Проанализируем его знак. Выражение $(x+3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x+3)^2 \ge 0$. Однако, из ОДЗ следует, что $x \neq -3$, а значит, $x+3 \neq 0$. Следовательно, $(x+3)^2$ всегда строго больше нуля.

Поскольку $8 > 0$ и $(x+3)^2 > 0$ для всех допустимых $x$, их произведение $8(x+3)^2$ также всегда строго больше нуля. Любое положительное число является неотрицательным. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: После преобразований и сокращений, с учетом области допустимых значений ($x \neq -7, x \neq -3, x \neq 3$), исходное выражение равно $8(x+3)^2$. Так как квадрат любого ненулевого числа положителен, $(x+3)^2 > 0$. Произведение положительного числа $8$ и положительного числа $(x+3)^2$ также положительно. Следовательно, значение выражения всегда положительно, а значит и неотрицательно, при всех допустимых значениях $x$.