Номер 7, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 7, страница 33.

Условие.

7. Упростите выражение:

а) $\frac{b-2}{b^2-bc+c^2} : \frac{b^2-4}{b^3+c^3} =$

б) $\frac{2x^3-2y^3}{y^2-25} : \frac{x^2+xy+y^2}{y+5} =$

Решение.

Решение 2.

а)

Исходное выражение: $ \frac{b-2}{b^2 - bc + c^2} : \frac{b^2 - 4}{b^3 + c^3} $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):

$ \frac{b-2}{b^2 - bc + c^2} \cdot \frac{b^3 + c^3}{b^2 - 4} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения:

• Разность квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.
  $ b^2 - 4 = b^2 - 2^2 = (b-2)(b+2) $
• Сумма кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.
  $ b^3 + c^3 = (b+c)(b^2 - bc + c^2) $

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$ \frac{b-2}{b^2 - bc + c^2} \cdot \frac{(b+c)(b^2 - bc + c^2)}{(b-2)(b+2)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаются множители $ (b-2) $ и $ (b^2 - bc + c^2) $:

$ \frac{\cancel{b-2}}{\cancel{b^2 - bc + c^2}} \cdot \frac{(b+c)(\cancel{b^2 - bc + c^2})}{(\cancel{b-2})(b+2)} = \frac{b+c}{b+2} $

Ответ: $ \frac{b+c}{b+2} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{2x^3 - 2y^3}{y^2 - 25} : \frac{x^2 + xy + y^2}{y + 5} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{2x^3 - 2y^3}{y^2 - 25} \cdot \frac{y + 5}{x^2 + xy + y^2} $

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

• В числителе $ 2x^3 - 2y^3 $ вынесем общий множитель 2 за скобки и применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $:
  $ 2x^3 - 2y^3 = 2(x^3 - y^3) = 2(x-y)(x^2 + xy + y^2) $
• В знаменателе $ y^2 - 25 $ применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
  $ y^2 - 25 = y^2 - 5^2 = (y-5)(y+5) $

Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{2(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{(y-5)(y+5)} \cdot \frac{y + 5}{x^2 + xy + y^2} $

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях. Сокращаются $ (y+5) $ и $ (x^2 + xy + y^2) $:

$ \frac{2(x-y)(\cancel{x^2 + xy + y^2})}{(y-5)(\cancel{y+5})} \cdot \frac{\cancel{y + 5}}{\cancel{x^2 + xy + y^2}} = \frac{2(x-y)}{y-5} $

Ответ: $ \frac{2(x-y)}{y-5} $