Номер 5, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 5, страница 33.

Условие.

5. Выполните действие:

a) $\frac{b^2 + 10b + 25}{(b - 5)^3} : \frac{b + 5}{b^2 - 10b + 25} = ...$

б) $\frac{c^3 - 6c^2 + 12c - 8}{c^2 - 9} : \frac{c^2 - 4c + 4}{c + 3} = ...$

Решение.

Решение 2.

a)

Чтобы выполнить деление алгебраических дробей, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь): $ \frac{b^2+10b+25}{(b-5)^3} : \frac{b+5}{b^2-10b+25} = \frac{b^2+10b+25}{(b-5)^3} \cdot \frac{b^2-10b+25}{b+5} $.

Далее разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель первой дроби, $ b^2+10b+25 $, является полным квадратом суммы. По формуле $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $, получаем: $ b^2+2 \cdot b \cdot 5+5^2 = (b+5)^2 $.
Числитель второй дроби (который стал знаменателем после переворачивания), $ b^2-10b+25 $, является полным квадратом разности. По формуле $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $, получаем: $ b^2-2 \cdot b \cdot 5+5^2 = (b-5)^2 $.

Подставим полученные разложения в наше выражение: $ \frac{(b+5)^2}{(b-5)^3} \cdot \frac{(b-5)^2}{b+5} $.

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Можно сократить $ (b+5) $ и $ (b-5)^2 $: $ \frac{(b+5)^{\sout{2}}}{(b-5)^{\sout{3}}} \cdot \frac{\sout{(b-5)^2}}{\sout{b+5}} = \frac{b+5}{b-5} $.

Ответ: $ \frac{b+5}{b-5} $

б)

Аналогично первому пункту, заменяем деление на умножение на обратную дробь: $ \frac{c^3-6c^2+12c-8}{c^2-9} : \frac{c^2-4c+4}{c+3} = \frac{c^3-6c^2+12c-8}{c^2-9} \cdot \frac{c+3}{c^2-4c+4} $.

Разложим многочлены на множители с помощью формул сокращенного умножения:
Числитель первой дроби, $ c^3-6c^2+12c-8 $, является кубом разности. По формуле $ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3 $: $ c^3-3 \cdot c^2 \cdot 2+3 \cdot c \cdot 2^2-2^3 = (c-2)^3 $.
Знаменатель первой дроби, $ c^2-9 $, является разностью квадратов. По формуле $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $: $ c^2-3^2 = (c-3)(c+3) $.
Знаменатель второй дроби, $ c^2-4c+4 $, является квадратом разности. По формуле $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $: $ c^2-2 \cdot c \cdot 2+2^2 = (c-2)^2 $.

Подставим разложенные выражения: $ \frac{(c-2)^3}{(c-3)(c+3)} \cdot \frac{c+3}{(c-2)^2} $.

Сократим общие множители $ (c+3) $ и $ (c-2)^2 $: $ \frac{(c-2)^{\sout{3}}}{(c-3)\sout{(c+3)}} \cdot \frac{\sout{c+3}}{\sout{(c-2)^2}} = \frac{c-2}{c-3} $.

Ответ: $ \frac{c-2}{c-3} $