Номер 3, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 3, страница 32.

Условие.

3. Выполните деление:

$ \frac{y^2 + y^4}{8z^3} : \frac{2y + 2y^3}{5z} = \frac{y^2(1 + y^2) \cdot 5z}{8z^3 \cdot 2y(1 + y^2)} = \frac{5y}{16z^2} $

a) $ \frac{5a - 10a^2}{2b^2} : \frac{7a^2 - 14a^3}{3b^5} = $

б) $ \frac{2a^2 - 4a + 1}{3b - 6} : \frac{3 - 12a + 6a^2}{5b - 10} = $

в) $ \frac{1 + 2c^2}{d^2 - d} : \left(-\frac{6c^5 + c^3}{1 - d}\right) = $

г) $ \frac{x^2 - x^3}{5y - 10} : \frac{2x^5 - 2x^6}{2 - y} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы выполнить деление дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{5a - 10a^2}{2b^2} : \frac{7a^2 - 14a^3}{3b^5} = \frac{5a - 10a^2}{2b^2} \cdot \frac{3b^5}{7a^2 - 14a^3}$
Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, вынеся общие множители за скобки:
$5a - 10a^2 = 5a(1 - 2a)$
$7a^2 - 14a^3 = 7a^2(1 - 2a)$
Подставим разложенные выражения в наше произведение:
$\frac{5a(1 - 2a)}{2b^2} \cdot \frac{3b^5}{7a^2(1 - 2a)}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(1 - 2a)$, а также степени переменных $a$ и $b$.
$\frac{5 \cdot a \cdot (1 - 2a) \cdot 3 \cdot b^5}{2 \cdot b^2 \cdot 7 \cdot a^2 \cdot (1 - 2a)} = \frac{5 \cdot 3 \cdot b^{5-2}}{2 \cdot 7 \cdot a^{2-1}} = \frac{15b^3}{14a}$
Ответ: $\frac{15b^3}{14a}$

б) Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{2a^2 - 4a + 1}{3b - 6} : \frac{3 - 12a + 6a^2}{5b - 10} = \frac{2a^2 - 4a + 1}{3b - 6} \cdot \frac{5b - 10}{3 - 12a + 6a^2}$
Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:
$3b - 6 = 3(b - 2)$
$5b - 10 = 5(b - 2)$
$3 - 12a + 6a^2 = 3(1 - 4a + 2a^2) = 3(2a^2 - 4a + 1)$
Подставим разложенные выражения в пример:
$\frac{2a^2 - 4a + 1}{3(b - 2)} \cdot \frac{5(b - 2)}{3(2a^2 - 4a + 1)}$
Сократим общие множители $(2a^2 - 4a + 1)$ и $(b - 2)$:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{9}$
Ответ: $\frac{5}{9}$

в) Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{1 + 2c^2}{d^2 - d} : \left(-\frac{6c^5 + c^3}{1 - d}\right) = \frac{1 + 2c^2}{d^2 - d} \cdot \left(-\frac{1 - d}{6c^5 + c^3}\right)$
Разложим на множители выражения в знаменателях и числителе второй дроби. Обратим внимание на знаки:
$d^2 - d = d(d - 1)$
$1 - d = -(d - 1)$
$6c^5 + c^3 = c^3(6c^2 + 1)$
Подставим разложения в выражение:
$\frac{1 + 2c^2}{d(d - 1)} \cdot \frac{-(-(d - 1))}{c^3(6c^2 + 1)} = \frac{1 + 2c^2}{d(d - 1)} \cdot \frac{d - 1}{c^3(6c^2 + 1)}$
Сократим общий множитель $(d - 1)$:
$\frac{1 + 2c^2}{d} \cdot \frac{1}{c^3(6c^2 + 1)} = \frac{1 + 2c^2}{dc^3(6c^2 + 1)}$
Ответ: $\frac{1 + 2c^2}{c^3d(6c^2 + 1)}$

г) Заменим деление на умножение на перевернутую дробь:
$\frac{x^2 - x^3}{5y - 10} : \frac{2x^5 - 2x^6}{2 - y} = \frac{x^2 - x^3}{5y - 10} \cdot \frac{2 - y}{2x^5 - 2x^6}$
Разложим все числители и знаменатели на множители:
$x^2 - x^3 = x^2(1 - x)$
$5y - 10 = 5(y - 2)$
$2 - y = -(y - 2)$
$2x^5 - 2x^6 = 2x^5(1 - x)$
Подставим разложенные выражения:
$\frac{x^2(1 - x)}{5(y - 2)} \cdot \frac{-(y - 2)}{2x^5(1 - x)}$
Сократим общие множители $(1 - x)$, $(y - 2)$ и степени переменной $x$:
$\frac{x^2}{5} \cdot \frac{-1}{2x^5} = \frac{-x^2}{10x^5} = -\frac{1}{10x^{5-2}} = -\frac{1}{10x^3}$
Ответ: $-\frac{1}{10x^3}$