Номер 10, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 10, страница 29.

Условие.

10. Докажите, что если $a - 2b = 0$, то значение выражения $(\frac{a^2 - 8ab + 16b^2}{a^2 - 14ab + 49b^2})^3$ не зависит от значений переменных $a$ и $b$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $b$, необходимо упростить данное выражение, используя условие $a - 2b = 0$.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель дроби в скобках. Оба выражения являются полными квадратами разности, которые можно свернуть по формуле сокращенного умножения $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Числитель: $a^2 - 8ab + 16b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (4b) + (4b)^2 = (a - 4b)^2$.

Знаменатель: $a^2 - 14ab + 49b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (7b) + (7b)^2 = (a - 7b)^2$.

Теперь подставим свернутые выражения обратно в исходное выражение:

$$ \left( \frac{(a - 4b)^2}{(a - 7b)^2} \right)^3 $$

Используя свойства степеней $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{mn}$, мы можем упростить выражение дальше:

$$ \left( \left( \frac{a - 4b}{a - 7b} \right)^2 \right)^3 = \left( \frac{a - 4b}{a - 7b} \right)^{2 \cdot 3} = \left( \frac{a - 4b}{a - 7b} \right)^6 $$

Из заданного условия $a - 2b = 0$ выразим $a$: $a = 2b$. Это соотношение справедливо при условии, что знаменатель исходного выражения не равен нулю, то есть $a^2 - 14ab + 49b^2 \neq 0$, что эквивалентно $(a - 7b)^2 \neq 0$, или $a \neq 7b$. Подставляя $a = 2b$, получаем $2b \neq 7b$, что верно при $b \neq 0$. Если $b=0$, то и $a=0$, и выражение не определено (деление на ноль).

Подставим $a = 2b$ в упрощенное выражение:

$$ \left( \frac{2b - 4b}{2b - 7b} \right)^6 = \left( \frac{-2b}{-5b} \right)^6 $$

Поскольку $b \neq 0$, мы можем сократить дробь на $b$:

$$ \left( \frac{-2}{-5} \right)^6 = \left( \frac{2}{5} \right)^6 = \frac{2^6}{5^6} = \frac{64}{15625} $$

Полученное значение $\frac{64}{15625}$ является константой и не зависит от выбора конкретных значений $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a=2b$ (при $b \neq 0$). Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно $\frac{64}{15625}$.