Номер 8, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 8, страница 28.

Условие.

8. Упростите выражение:

a) $ \frac{4a^3b^2}{5mn^4} \cdot \frac{2am^3}{3b} \cdot \frac{10}{a^5b^7n} = $

б) $ \frac{14c^2d^7}{15ab^4} \cdot \frac{25a^6c^5}{42d^3} \cdot \frac{9b^{16}d^2}{10c^{12}} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить данное выражение, перемножим все три дроби. Для этого мы перемножаем их числители и знаменатели соответственно:

$$ \frac{4a^3b^2}{5mn^4} \cdot \frac{2am^3}{3b} \cdot \frac{10}{a^5b^7n} = \frac{4a^3b^2 \cdot 2am^3 \cdot 10}{5mn^4 \cdot 3b \cdot a^5b^7n} $$

Далее сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями, чтобы упростить выражение. В числителе перемножаем $4 \cdot 2 \cdot 10 = 80$. В знаменателе перемножаем $5 \cdot 3 = 15$. Для переменных используем свойство степеней $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$.

$$ \frac{(4 \cdot 2 \cdot 10) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot b^2 \cdot m^3}{(5 \cdot 3) \cdot a^5 \cdot (b \cdot b^7) \cdot m \cdot (n^4 \cdot n)} = \frac{80 \cdot a^{3+1} \cdot b^2 \cdot m^3}{15 \cdot a^5 \cdot b^{1+7} \cdot m \cdot n^{4+1}} = \frac{80a^4b^2m^3}{15a^5b^8mn^5} $$

Теперь сократим полученную дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты: $ \frac{80}{15} = \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{16}{3} $. Затем сократим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $ \frac{x^p}{x^q} = x^{p-q} $:

$ \frac{a^4}{a^5} = a^{4-5} = a^{-1} = \frac{1}{a} $
$ \frac{b^2}{b^8} = b^{2-8} = b^{-6} = \frac{1}{b^6} $
$ \frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2 $
Переменная $n^5$ остается в знаменателе.

Соединив все части, получаем итоговое выражение:

$$ \frac{16m^2}{3ab^6n^5} $$

Ответ: $ \frac{16m^2}{3ab^6n^5} $

б) По аналогии с предыдущим заданием, начнем с перемножения дробей. Объединим числители и знаменатели в одну дробь:

$$ \frac{14c^2d^7}{15ab^4} \cdot \frac{25a^6c^5}{42d^3} \cdot \frac{9b^{16}d^2}{10c^{12}} = \frac{14 \cdot 25 \cdot 9 \cdot a^6 \cdot b^{16} \cdot c^2 \cdot c^5 \cdot d^7 \cdot d^2}{15 \cdot 42 \cdot 10 \cdot a \cdot b^4 \cdot c^{12} \cdot d^3} $$

Сначала упростим степени с одинаковыми основаниями в числителе:

$$ \frac{(14 \cdot 25 \cdot 9) \cdot a^6 b^{16} c^{2+5} d^{7+2}}{(15 \cdot 42 \cdot 10) \cdot a b^4 c^{12} d^3} = \frac{(14 \cdot 25 \cdot 9) \cdot a^6 b^{16} c^7 d^9}{(15 \cdot 42 \cdot 10) \cdot a b^4 c^{12} d^3} $$

Теперь сократим числовые коэффициенты. Это удобно сделать, разбив их на группы:

$$ \frac{14 \cdot 25 \cdot 9}{15 \cdot 42 \cdot 10} = \frac{14}{42} \cdot \frac{25}{10} \cdot \frac{9}{15} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} $$

Далее сократим переменные:

$ \frac{a^6}{a} = a^{6-1} = a^5 $
$ \frac{b^{16}}{b^4} = b^{16-4} = b^{12} $
$ \frac{c^7}{c^{12}} = c^{7-12} = c^{-5} = \frac{1}{c^5} $
$ \frac{d^9}{d^3} = d^{9-3} = d^6 $

Объединяем полученные коэффициенты и переменные в одно выражение:

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{a^5 b^{12} d^6}{c^5} = \frac{a^5b^{12}d^6}{2c^5} $$

Ответ: $ \frac{a^5b^{12}d^6}{2c^5} $