Номер 6, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 6, страница 27.

Условие.

6. Представьте в виде дроби:

а) $ \left(\frac{c-d}{c+d}\right)^4 \cdot \frac{c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3}{c^3 - 3c^2d + 3cd^2 - d^3} = $

11. Выполните умножение:

б) $ \frac{x^2 - 6xy + 9y^2}{x^2 + 6xy + 9y^2} \cdot \left(\frac{x+3y}{x-3y}\right)^3 = $

Решение.

Решение 2.

а) Упростим выражение $ \left(\frac{c-d}{c+d}\right)^4 \cdot \frac{c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3}{c^3 - 3c^2d + 3cd^2 - d^3} $.
Заметим, что числитель и знаменатель второй дроби являются формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности соответственно:
$ c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3 = (c+d)^3 $
$ c^3 - 3c^2d + 3cd^2 - d^3 = (c-d)^3 $
Подставим эти выражения обратно в исходное:
$ \left(\frac{c-d}{c+d}\right)^4 \cdot \frac{(c+d)^3}{(c-d)^3} $
Возведем первую дробь в четвертую степень:
$ \frac{(c-d)^4}{(c+d)^4} \cdot \frac{(c+d)^3}{(c-d)^3} $
Теперь выполним умножение дробей и сократим степени, используя свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{(c-d)^4}{(c-d)^3} \cdot \frac{(c+d)^3}{(c+d)^4} = (c-d)^{4-3} \cdot (c+d)^{3-4} = (c-d)^1 \cdot (c+d)^{-1} = \frac{c-d}{c+d} $.
Ответ: $ \frac{c-d}{c+d} $

б) Упростим выражение $ \frac{x^2 - 6xy + 9y^2}{x^2 + 6xy + 9y^2} \cdot \left(\frac{x+3y}{x-3y}\right)^3 $.
Заметим, что числитель и знаменатель первой дроби являются формулами квадрата разности и квадрата суммы:
$ x^2 - 6xy + 9y^2 = (x-3y)^2 $
$ x^2 + 6xy + 9y^2 = (x+3y)^2 $
Подставим эти выражения обратно в исходное:
$ \frac{(x-3y)^2}{(x+3y)^2} \cdot \left(\frac{x+3y}{x-3y}\right)^3 $
Возведем вторую дробь в третью степень:
$ \frac{(x-3y)^2}{(x+3y)^2} \cdot \frac{(x+3y)^3}{(x-3y)^3} $
Выполним умножение и сократим степени:
$ \frac{(x-3y)^2}{(x-3y)^3} \cdot \frac{(x+3y)^3}{(x+3y)^2} = (x-3y)^{2-3} \cdot (x+3y)^{3-2} = (x-3y)^{-1} \cdot (x+3y)^1 = \frac{x+3y}{x-3y} $.
Ответ: $ \frac{x+3y}{x-3y} $