Номер 7, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 7, страница 27.

Условие.

7. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{2x^2 - 8y^2}{3x - y} \cdot \frac{6x - 2y}{5x + 10y} $ при $ x = 9, y = -\frac{1}{2}; $

б) $ \frac{a^2 + 6ab + 9b^2}{b^2 + 4} \cdot \frac{b^4 + 4b^2}{a^2 - 9b^2} $ при $ a = 1,5, b = -0,5. $

Решение.

Решение 2.

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби раскладываем, вынося общий множитель 2 и применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$2x^2 - 8y^2 = 2(x^2 - 4y^2) = 2(x - 2y)(x + 2y)$

В числителе второй дроби выносим общий множитель 2:

$6x - 2y = 2(3x - y)$

В знаменателе второй дроби выносим общий множитель 5:

$5x + 10y = 5(x + 2y)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{2x^2 - 8y^2}{3x - y} \cdot \frac{6x - 2y}{5x + 10y} = \frac{2(x - 2y)(x + 2y)}{3x - y} \cdot \frac{2(3x - y)}{5(x + 2y)}$

Теперь можно сократить общие множители. Множитель $(3x - y)$ в знаменателе первой дроби и числителе второй, а также множитель $(x + 2y)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй:

$\frac{2(x - 2y)}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4(x - 2y)}{5}$

Подставим в упрощенное выражение значения $x = 9$ и $y = -\frac{1}{2}$:

$\frac{4(9 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}))}{5} = \frac{4(9 + 1)}{5} = \frac{4 \cdot 10}{5} = \frac{40}{5} = 8$

Ответ: 8

б)

Сначала упростим данное выражение, разложив числители и знаменатели на множители.

Числитель первой дроби является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2$

В числителе второй дроби вынесем общий множитель $b^2$ за скобки:

$b^4 + 4b^2 = b^2(b^2 + 4)$

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$

Подставим разложенные выражения в исходное произведение:

$\frac{(a + 3b)^2}{b^2 + 4} \cdot \frac{b^2(b^2 + 4)}{(a - 3b)(a + 3b)}$

Сократим общие множители $(b^2 + 4)$ и $(a + 3b)$ в числителях и знаменателях:

$\frac{(a + 3b) \cdot b^2}{a - 3b}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = 1,5$ и $b = -0,5$:

$\frac{(1,5 + 3 \cdot (-0,5)) \cdot (-0,5)^2}{1,5 - 3 \cdot (-0,5)} = \frac{(1,5 - 1,5) \cdot 0,25}{1,5 + 1,5} = \frac{0 \cdot 0,25}{3} = \frac{0}{3} = 0$

Ответ: 0