Номер 13, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 13, страница 30.

Условие.

13. Докажите тождество (m, n — натуральные числа):

a) $\frac{p^{m-2}}{p^{2m}-2p^m+4} \cdot \frac{p^{3m}+8}{p^{2m}-4} = 1;$

б) $\frac{a^n-b^n}{a^{2n}b^{3n}} \cdot \frac{a^nb^{5n}}{a^{2n}-b^{2n}} \cdot \frac{a^n+b^n}{b^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n;$

В) $\frac{x^{3n}-y^{3n}}{x^{4n}y^{5n}} \cdot \frac{x^{3n}y^{4n}}{x^n-y^n} \cdot \frac{x^ny^{2n}}{x^{2n}+x^ny^n+y^{2n}} = y^n.$

Решение.

Решение 2.

a)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть: $ \frac{p^{m}-2}{p^{2m}-2p^m+4} \cdot \frac{p^{3m}+8}{p^{2m}-4} $

В числителе второй дроби используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $ p^{3m}+8 = (p^m)^3 + 2^3 = (p^m+2)( (p^m)^2 - p^m \cdot 2 + 2^2 ) = (p^m+2)(p^{2m}-2p^m+4) $.

В знаменателе второй дроби используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $ p^{2m}-4 = (p^m)^2 - 2^2 = (p^m-2)(p^m+2) $.

Подставим разложенные выражения в исходное тождество и сократим дроби: $ \frac{p^{m}-2}{p^{2m}-2p^m+4} \cdot \frac{(p^m+2)(p^{2m}-2p^m+4)}{(p^m-2)(p^m+2)} = \frac{\cancel{p^{m}-2}}{\cancel{p^{2m}-2p^m+4}} \cdot \frac{\cancel{(p^m+2)}\cancel{(p^{2m}-2p^m+4)}}{\cancel{(p^m-2)}\cancel{(p^m+2)}} = 1 $.

Левая часть равна 1, что соответствует правой части тождества.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть: $ \frac{a^n-b^n}{a^{2n}b^{3n}} \cdot \frac{a^nb^{5n}}{a^{2n}-b^{2n}} \cdot \frac{a^n+b^n}{b^n} $.

Разложим знаменатель второй дроби $a^{2n}-b^{2n}$ по формуле разности квадратов: $ a^{2n}-b^{2n} = (a^n)^2 - (b^n)^2 = (a^n-b^n)(a^n+b^n) $.

Подставим полученное выражение и сократим общие множители: $ \frac{\cancel{a^n-b^n}}{a^{2n}b^{3n}} \cdot \frac{a^nb^{5n}}{\cancel{(a^n-b^n)}\cancel{(a^n+b^n)}} \cdot \frac{\cancel{a^n+b^n}}{b^n} = \frac{a^nb^{5n}}{a^{2n}b^{3n}b^n} $.

Упростим полученное выражение, используя свойства степеней: $ \frac{a^n b^{5n}}{a^{2n} b^{4n}} = a^{n-2n} b^{5n-4n} = a^{-n}b^n = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $.

Левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Упростим выражение (выполним умножение): $ \frac{x^{3n}-y^{3n}}{x^{4n}y^{5n}} \cdot \frac{x^{3n}y^{4n}}{x^n-y^n} \cdot \frac{x^ny^{2n}}{x^{2n}+x^ny^n+y^{2n}} $.

Разложим числитель первой дроби $x^{3n}-y^{3n}$ по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$: $ x^{3n}-y^{3n} = (x^n)^3 - (y^n)^3 = (x^n-y^n)(x^{2n}+x^ny^n+y^{2n}) $.

Подставим это в исходное выражение: $ \frac{(x^n-y^n)(x^{2n}+x^ny^n+y^{2n})}{x^{4n}y^{5n}} \cdot \frac{x^{3n}y^{4n}}{x^n-y^n} \cdot \frac{x^ny^{2n}}{x^{2n}+x^ny^n+y^{2n}} $.

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях: $ \frac{\cancel{(x^n-y^n)}\cancel{(x^{2n}+x^ny^n+y^{2n})}}{x^{4n}y^{5n}} \cdot \frac{x^{3n}y^{4n}}{\cancel{x^n-y^n}} \cdot \frac{x^ny^{2n}}{\cancel{x^{2n}+x^ny^n+y^{2n}}} = \frac{x^{3n}y^{4n} \cdot x^ny^{2n}}{x^{4n}y^{5n}} $.

Перемножим степени с одинаковыми основаниями в числителе: $ \frac{x^{3n+n} y^{4n+2n}}{x^{4n}y^{5n}} = \frac{x^{4n}y^{6n}}{x^{4n}y^{5n}} $.

Разделим степени с одинаковыми основаниями: $ x^{4n-4n} y^{6n-5n} = x^0 y^n = 1 \cdot y^n = y^n $.

Ответ: $y^n$.