Номер 6, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 6, страница 33.

Условие.

6. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{3a^3 - 6a^2}{a+2} : (a-2) $ при $ a = -3,5; $

б) $ (5x+15y) : \frac{x^2 - 9y^2}{x-y} $ при $ x = 2,5, y = 1,5. $

Решение.

Решение 2.

а) Сначала упростим данное выражение. Деление на выражение $(a-2)$ эквивалентно умножению на обратное ему выражение $\frac{1}{a-2}$.

$\frac{3a^3 - 6a^2}{a+2} : (a-2) = \frac{3a^3 - 6a^2}{a+2} \cdot \frac{1}{a-2} = \frac{3a^3 - 6a^2}{(a+2)(a-2)}$

В числителе вынесем общий множитель $3a^2$ за скобки:

$3a^3 - 6a^2 = 3a^2(a-2)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{3a^2(a-2)}{(a+2)(a-2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-2)$, при условии, что $a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$. Так как по условию $a = -3,5$, это условие выполняется.

$\frac{3a^2\sout{(a-2)}}{(a+2)\sout{(a-2)}} = \frac{3a^2}{a+2}$

Теперь подставим значение $a = -3,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{3 \cdot (-3,5)^2}{-3,5 + 2} = \frac{3 \cdot 12,25}{-1,5} = \frac{36,75}{-1,5}$

Выполним деление:

$\frac{36,75}{-1,5} = -\frac{367,5}{15} = -24,5$

Ответ: $-24,5$

б) Упростим исходное выражение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$(5x + 15y) : \frac{x^2 - 9y^2}{x - y} = (5x + 15y) \cdot \frac{x - y}{x^2 - 9y^2}$

В первом множителе вынесем за скобки общий множитель $5$:

$5x + 15y = 5(x + 3y)$

В знаменателе второго множителя применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$

Подставим преобразованные части в выражение:

$5(x + 3y) \cdot \frac{x - y}{(x - 3y)(x + 3y)}$

Сократим на общий множитель $(x + 3y)$, при условии, что $x + 3y \neq 0$. Проверим это условие с данными значениями: $2,5 + 3 \cdot 1,5 = 2,5 + 4,5 = 7 \neq 0$. Условие выполняется.

$\frac{5(x + 3y)(x - y)}{(x - 3y)(x + 3y)} = \frac{5(x - y)}{x - 3y}$

Теперь подставим значения $x = 2,5$ и $y = 1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{5(2,5 - 1,5)}{2,5 - 3 \cdot 1,5} = \frac{5(1)}{2,5 - 4,5} = \frac{5}{-2} = -2,5$

Ответ: $-2,5$