Номер 8, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 8, страница 34.

Условие.

8. Докажите, что если $x+y-z=0$, то верно равенство

$\frac{(x-3y+2z)^2}{7x+9y-6z} : \frac{(5x+y-2z)^2}{z-2x-4y} = -1.$

Решение.

Из условия $x+y-z=0$ находим, что $z=x+y$. Выполнив подстановку, получим

Решение.

Решение 2.

Решение.

Согласно условию задачи, дано равенство $x + y - z = 0$. Из этого равенства можно выразить переменную $z$ через $x$ и $y$:

$z = x + y$

Теперь подставим это выражение для $z$ в левую часть доказываемого равенства:

$\frac{(x - 3y + 2z)^2}{7x + 9y - 6z} : \frac{(5x + y - 2z)^2}{z - 2x - 4y}$

Для удобства преобразуем каждую часть выражения по отдельности.

1. Числитель первой дроби:

$(x - 3y + 2z)^2 = (x - 3y + 2(x+y))^2 = (x - 3y + 2x + 2y)^2 = (3x - y)^2$

2. Знаменатель первой дроби:

$7x + 9y - 6z = 7x + 9y - 6(x+y) = 7x + 9y - 6x - 6y = x + 3y$

3. Числитель второй дроби:

$(5x + y - 2z)^2 = (5x + y - 2(x+y))^2 = (5x + y - 2x - 2y)^2 = (3x - y)^2$

4. Знаменатель второй дроби:

$z - 2x - 4y = (x+y) - 2x - 4y = -x - 3y = -(x + 3y)$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходное. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{(3x - y)^2}{x + 3y} : \frac{(3x - y)^2}{-(x + 3y)} = \frac{(3x - y)^2}{x + 3y} \cdot \frac{-(x + 3y)}{(3x - y)^2}$

При условии, что знаменатели исходных дробей не равны нулю (то есть $x+3y \neq 0$ и $z-2x-4y \neq 0$), мы можем сократить одинаковые множители $(3x-y)^2$ и $(x+3y)$:

$\frac{\cancel{(3x - y)^2}}{\cancel{x + 3y}} \cdot \frac{-(\cancel{x + 3y})}{\cancel{(3x - y)^2}} = -1$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна -1, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.