Номер 9, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 9, страница 34.

Условие.

9. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{9x^2-1}{x^3+1} : \frac{3x+1}{x^2-x+1} $ при $x = -\frac{1}{3}$;

б) $ \frac{a^2+ab-6b^2}{a^2+2ab+b^2} : \frac{2b-a}{a+b} $ при $a = 0,2, b = -0,3.$

$ \frac{a^2+ab-6b^2}{a^2+2ab+b^2} : \frac{2b-a}{a+b} = \frac{a^2+3ab-2ab-6b^2}{(a+b)^2} : \frac{2b-a}{a+b} $

Решение.

Решение 2.

а)

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Деление дробей можно заменить умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{9x^2-1}{x^3+1} : \frac{3x+1}{x^2-x+1} = \frac{9x^2-1}{x^3+1} \cdot \frac{x^2-x+1}{3x+1}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби. Для этого используем формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и сумму кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Числитель: $9x^2-1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)$.

Знаменатель: $x^3+1 = x^3+1^3 = (x+1)(x^2-x+1)$.

Подставим разложенные многочлены в наше выражение:

$\frac{(3x-1)(3x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} \cdot \frac{x^2-x+1}{3x+1}$

Сократим общие множители $(3x+1)$ и $(x^2-x+1)$. Это можно делать при условии, что они не равны нулю. При $x = -1/3$ множитель $(3x+1)$ обращается в ноль, что делает исходный делитель равным нулю. В таких случаях принято сначала упрощать выражение, а затем подставлять значение (фактически, мы находим предел функции в точке разрыва).

$\frac{(3x-1)\cancel{(3x+1)}}{(x+1)\cancel{(x^2-x+1)}} \cdot \frac{\cancel{x^2-x+1}}{\cancel{3x+1}} = \frac{3x-1}{x+1}$

Теперь подставим значение $x = -\frac{1}{3}$ в полученное упрощенное выражение:

$\frac{3 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1}{-\frac{1}{3} + 1} = \frac{-1 - 1}{\frac{-1+3}{3}} = \frac{-2}{\frac{2}{3}} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$

Ответ: $-3$

б)

Сначала упростим данное выражение. Заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2+ab-6b^2}{a^2+2ab+b^2} : \frac{2b-a}{a+b} = \frac{a^2+ab-6b^2}{a^2+2ab+b^2} \cdot \frac{a+b}{2b-a}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби. Знаменатель $a^2+2ab+b^2$ является полным квадратом суммы: $(a+b)^2$.

Числитель $a^2+ab-6b^2$ — это квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Найдем его корни, решив уравнение $a^2+(b)a-(6b^2)=0$:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4(1)(-6b^2)}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2+24b^2}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{25b^2}}{2} = \frac{-b \pm 5b}{2}$

Корни уравнения: $a_1=\frac{-b+5b}{2}=2b$ и $a_2=\frac{-b-5b}{2}=-3b$.
Следовательно, $a^2+ab-6b^2 = (a-2b)(a+3b)$.

Подставим разложенные на множители выражения:

$\frac{(a-2b)(a+3b)}{(a+b)^2} \cdot \frac{a+b}{2b-a}$

Обратим внимание, что $2b-a = -(a-2b)$. Перепишем выражение, вынеся минус за скобки:

$\frac{(a-2b)(a+3b)}{(a+b)^2} \cdot \frac{a+b}{-(a-2b)}$

Теперь сократим общие множители $(a-2b)$ и $(a+b)$ (при $a=0,2, b=-0,3$ они не равны нулю):

$\frac{\cancel{(a-2b)}(a+3b)}{(a+b)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{-\cancel{(a-2b)}} = \frac{a+3b}{-(a+b)} = -\frac{a+3b}{a+b}$

Подставим числовые значения $a=0,2$ и $b=-0,3$ в упрощенное выражение:

$-\frac{0,2+3 \cdot (-0,3)}{0,2+(-0,3)} = -\frac{0,2-0,9}{0,2-0,3} = -\frac{-0,7}{-0,1} = -(7) = -7$

Ответ: $-7$