Номер 2, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 2, страница 37.

Условие.

2. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{x+3y}{x-3y} + \frac{x-3y}{x+3y}\right) \cdot \frac{x^2-9y^2}{x^2+9y^2} =$

б) $\left(\frac{3a-2}{3a+2} - \frac{3a+2}{3a-2}\right) : \frac{8a^2}{3a-2} =$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы упростить данное выражение, сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3y)(x+3y)$, который по формуле разности квадратов равен $x^2 - 9y^2$.

$ \left( \frac{x+3y}{x-3y} + \frac{x-3y}{x+3y} \right) = \frac{(x+3y)(x+3y) + (x-3y)(x-3y)}{(x-3y)(x+3y)} = \frac{(x+3y)^2 + (x-3y)^2}{x^2 - 9y^2} $

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$ (x+3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2 $

$ (x-3y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2 $

Сложим полученные выражения:

$ (x^2 + 6xy + 9y^2) + (x^2 - 6xy + 9y^2) = 2x^2 + 18y^2 = 2(x^2 + 9y^2) $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{2(x^2 + 9y^2)}{x^2 - 9y^2} $

Теперь умножим результат на вторую дробь:

$ \frac{2(x^2 + 9y^2)}{x^2 - 9y^2} \cdot \frac{x^2 - 9y^2}{x^2 + 9y^2} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($x^2 - 9y^2$ и $x^2 + 9y^2$):

$ \frac{2(\cancel{x^2 + 9y^2})}{\cancel{x^2 - 9y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2 - 9y^2}}{\cancel{x^2 + 9y^2}} = 2 $

Ответ: $2$

б)

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(3a+2)(3a-2)$, который равен $9a^2 - 4$.

$ \frac{3a-2}{3a+2} - \frac{3a+2}{3a-2} = \frac{(3a-2)^2 - (3a+2)^2}{(3a+2)(3a-2)} $

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$ ((3a-2) - (3a+2))((3a-2) + (3a+2)) = (3a-2-3a-2)(3a-2+3a+2) = (-4)(6a) = -24a $

Знаменатель равен $9a^2 - 4$. Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{-24a}{9a^2 - 4} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{-24a}{9a^2 - 4} : \frac{8a^2}{3a-2} = \frac{-24a}{9a^2 - 4} \cdot \frac{3a-2}{8a^2} $

Разложим знаменатель $9a^2-4$ на множители:

$ \frac{-24a}{(3a-2)(3a+2)} \cdot \frac{3a-2}{8a^2} $

Сократим общие множители $(3a-2)$ и $8a$:

$ \frac{-3 \cdot 8a}{(3a-2)(3a+2)} \cdot \frac{3a-2}{8a \cdot a} = \frac{-3 \cdot \cancel{8a}}{(\cancel{3a-2})(3a+2)} \cdot \frac{\cancel{3a-2}}{\cancel{8a} \cdot a} = \frac{-3}{(3a+2)a} = -\frac{3}{a(3a+2)} $

Ответ: $-\frac{3}{a(3a+2)}$