Номер 8, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 8, страница 40.

Условие.

8. Найдите значение выражения

$\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b}\right)^2 - \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) \cdot \frac{1}{2ab}$

при условии, что $a + b = 5$, $ab = 2$.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала упростим данное выражение, выполнив действия в скобках и приведя дроби к общему знаменателю.

Упростим выражение в первой скобке:

$$ \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} = \frac{b}{2ab} + \frac{a}{2ab} = \frac{a+b}{2ab} $$

Упростим выражение во второй скобке:

$$ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} $$

Теперь подставим эти упрощенные выражения обратно в исходное выражение:

$$ \left(\frac{a+b}{2ab}\right)^2 - \left(\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\right) \cdot \frac{1}{2ab} $$

По условию задачи нам даны значения $a+b=5$ и $ab=2$. Нам также потребуется найти значение $a^2+b^2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

Выразим из нее $a^2+b^2$:

$$ a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab $$

Подставим известные значения $a+b=5$ и $ab=2$:

$$ a^2+b^2 = 5^2 - 2 \cdot 2 = 25 - 4 = 21 $$

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы вычислить исходное выражение. Подставим $a+b=5$, $ab=2$ и $a^2+b^2=21$ в преобразованное выражение. Также учтем, что $a^2b^2 = (ab)^2 = 2^2 = 4$.

$$ \left(\frac{5}{2 \cdot 2}\right)^2 - \left(\frac{21}{4}\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} $$

Осталось выполнить арифметические вычисления:

$$ \left(\frac{5}{4}\right)^2 - \frac{21}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{25}{16} - \frac{21}{16} = \frac{25 - 21}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $$

Ответ: $\frac{1}{4}$