Номер 11, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 11, страница 41.

Условие.

11. При каком значении с выражение $\frac{16}{(\frac{c}{4}-2)^2 + (\frac{c}{4}+2)^2}$ принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти наибольшее значение дроби с постоянным положительным числителем, необходимо найти наименьшее значение ее знаменателя.

Рассмотрим знаменатель данного выражения: $D(c) = (\frac{c}{4}-2)^2 + (\frac{c}{4}+2)^2$.

Упростим это выражение, используя формулы сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $D(c) = \left( (\frac{c}{4})^2 - 2 \cdot \frac{c}{4} \cdot 2 + 2^2 \right) + \left( (\frac{c}{4})^2 + 2 \cdot \frac{c}{4} \cdot 2 + 2^2 \right)$
$D(c) = \left( \frac{c^2}{16} - c + 4 \right) + \left( \frac{c^2}{16} + c + 4 \right)$

Приведем подобные слагаемые: $D(c) = \frac{c^2}{16} + \frac{c^2}{16} - c + c + 4 + 4 = \frac{2c^2}{16} + 8 = \frac{c^2}{8} + 8$

Теперь необходимо найти наименьшее значение выражения $D(c) = \frac{c^2}{8} + 8$. Выражение $c^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его наименьшее значение равно 0 и достигается при $c=0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя равно: $D_{min} = \frac{0^2}{8} + 8 = 0 + 8 = 8$

При каком значении с выражение принимает наибольшее значение?
Наибольшее значение выражения достигается, когда его знаменатель принимает наименьшее значение. Мы выяснили, что это происходит при $c=0$.
Ответ: при $c=0$.

Найдите это значение.
Теперь найдем наибольшее значение всего выражения, подставив в него минимальное значение знаменателя, которое равно 8: $\frac{16}{8} = 2$
Ответ: 2.