Номер 9, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 9, страница 41.

Условие.

9. Упростите выражение (n — натуральное число)

$2a^{4n-3} + \frac{a^{n+4} + 4a^n - 4a^{n+2}}{a^3} : \frac{a^2 - 2}{a^{3n}} = $

Решение.

Решение 2.

Для упрощения данного выражения выполним действия в соответствии с их порядком: сначала деление, затем сложение.

1. Начнем с операции деления:

$\frac{a^{n+4} + 4a^n - 4a^{n+2}}{a^3} : \frac{a^2 - 2}{a^{3n}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{a^{n+4} + 4a^n - 4a^{n+2}}{a^3} \cdot \frac{a^{3n}}{a^2 - 2}$

2. Упростим числитель первой дроби. Вынесем за скобки общий множитель $a^n$:

$a^{n+4} + 4a^n - 4a^{n+2} = a^n(a^4 + 4 - 4a^2)$

Переставим слагаемые в скобках, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения:

$a^n(a^4 - 4a^2 + 4)$

Выражение в скобках представляет собой квадрат разности, так как $(a^2 - 2)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2 + 2^2 = a^4 - 4a^2 + 4$.

Таким образом, числитель можно записать как $a^n(a^2 - 2)^2$.

3. Подставим упрощенный числитель обратно в выражение и выполним умножение:

$\frac{a^n(a^2 - 2)^2}{a^3} \cdot \frac{a^{3n}}{a^2 - 2} = \frac{a^n \cdot a^{3n} \cdot (a^2 - 2)^2}{a^3 \cdot (a^2 - 2)}$

4. Сократим полученную дробь. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$).

Сократим на $(a^2 - 2)$:

$\frac{a^{n+3n} \cdot (a^2 - 2)}{a^3} = \frac{a^{4n} \cdot (a^2 - 2)}{a^3}$

Сократим степени переменной $a$:

$a^{4n-3}(a^2 - 2)$

5. Теперь выполним сложение с первым членом исходного выражения:

$2a^{4n-3} + a^{4n-3}(a^2 - 2)$

Вынесем общий множитель $a^{4n-3}$ за скобки:

$a^{4n-3} (2 + (a^2 - 2))$

6. Упростим выражение в скобках:

$2 + a^2 - 2 = a^2$

7. Получаем итоговое выражение:

$a^{4n-3} \cdot a^2$

Складываем показатели степеней:

$a^{4n-3+2} = a^{4n-1}$

Ответ: $a^{4n-1}$