Номер 5, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 5, страница 38.

Условие.

5. Выполните указанные действия:

a) $(1 - \frac{1}{y-2} + \frac{1}{y+2}) \cdot (y^2 - 4) - 2 =$

1) $1 - \frac{1}{y-2} + \frac{1}{y+2} = \frac{y^2-4-(y+2)+(y-2)}{y^2-4} =$

б) $(a-b+\frac{2ab}{a-b}) : (\frac{a+b}{a-b}-1) =$

1) $a-b+\frac{2ab}{a-b} = \frac{(a-b)^2+2ab}{a-b} =$

Решение.

Решение 2.

a) $\left(1 - \frac{1}{y-2} + \frac{1}{y+2}\right) \cdot (y^2 - 4) - 2 =$

Сначала выполним действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(y-2)(y+2) = y^2-4$.

1) $1 - \frac{1}{y-2} + \frac{1}{y+2} = \frac{1 \cdot (y^2-4)}{y^2-4} - \frac{1 \cdot (y+2)}{y^2-4} + \frac{1 \cdot (y-2)}{y^2-4} = \frac{y^2-4 - (y+2) + (y-2)}{y^2-4}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{y^2-4 - y - 2 + y - 2}{y^2-4} = \frac{y^2 - 8}{y^2-4}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное и выполним умножение:

2) $\frac{y^2 - 8}{y^2-4} \cdot (y^2 - 4) = y^2 - 8$

При умножении знаменатель $(y^2-4)$ сокращается. Это действие возможно при условии, что $y^2-4 \neq 0$, то есть $y \neq 2$ и $y \neq -2$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения.

Наконец, выполним вычитание:

3) $(y^2-8) - 2 = y^2 - 10$

Ответ: $y^2 - 10$

б) $\left(a-b+\frac{2ab}{a-b}\right):\left(\frac{a+b}{a-b}-1\right) =$

Выполним действия по порядку.

1) Упростим выражение в первой скобке, приведя его к общему знаменателю $(a-b)$:

$a-b+\frac{2ab}{a-b} = \frac{(a-b)(a-b)}{a-b} + \frac{2ab}{a-b} = \frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}$

Раскроем квадрат разности в числителе:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2 + 2ab}{a-b} = \frac{a^2 + b^2}{a-b}$

2) Упростим выражение во второй скобке, также приведя его к общему знаменателю $(a-b)$:

$\frac{a+b}{a-b}-1 = \frac{a+b}{a-b} - \frac{1 \cdot (a-b)}{a-b} = \frac{(a+b)-(a-b)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a+b-a+b}{a-b} = \frac{2b}{a-b}$

3) Теперь выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2:

$\frac{a^2 + b^2}{a-b} : \frac{2b}{a-b}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:

$\frac{a^2 + b^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{2b} = \frac{a^2+b^2}{2b}$

Сокращение возможно при $a-b \neq 0$ и $2b \neq 0$, то есть $a \neq b$ и $b \neq 0$.

Ответ: $\frac{a^2+b^2}{2b}$