Номер 1, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 1, страница 37.

Условие.

1. Выполните действия:

а) $ \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = $

б) $ \frac{a+b}{b^2} - \frac{7a}{b^4} \cdot \frac{b^3 - ab^2}{7a} = $

в) $ \frac{mn^2 + n^3}{4} : \left(\frac{n^2}{2m} - \frac{m^2 + 3mn}{2}\right) = $

г) $ \left(\frac{2}{p^2} - \frac{2}{pq}\right) \cdot \frac{pq^2}{q-p} = $

Решение.

Решение 2.

а) $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) : (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$
Сначала выполним действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.
1. В первых скобках общий знаменатель $xy$:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{y - x}{xy}$
2. Во вторых скобках общий знаменатель также $xy$:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} + \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{y + x}{xy}$
3. Теперь выполним деление полученных дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$(\frac{y - x}{xy}) : (\frac{y + x}{xy}) = \frac{y - x}{xy} \cdot \frac{xy}{y + x}$
4. Сокращаем общий множитель $xy$:
$\frac{y - x}{\cancel{xy}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{y + x} = \frac{y - x}{y + x}$
Ответ: $\frac{y - x}{x + y}$

б) $\frac{a + b}{b^2} - \frac{7a}{b^4} \cdot \frac{b^3 - ab^2}{7a}$
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение.
1. В числителе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $b^2$: $b^3 - ab^2 = b^2(b - a)$.
$\frac{7a}{b^4} \cdot \frac{b^2(b - a)}{7a}$
2. Сократим дробь на общие множители $7a$ и $b^2$:
$\frac{\cancel{7a}}{b^4} \cdot \frac{b^2(b - a)}{\cancel{7a}} = \frac{b^2(b - a)}{b^4} = \frac{b - a}{b^2}$
3. Теперь выполним вычитание:
$\frac{a + b}{b^2} - \frac{b - a}{b^2}$
4. Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
$\frac{(a + b) - (b - a)}{b^2} = \frac{a + b - b + a}{b^2} = \frac{2a}{b^2}$
Ответ: $\frac{2a}{b^2}$

в) $\frac{mn^2 + n^3}{4} : \frac{n^2}{2m} - \frac{m^2 + 3mn}{2}$
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление.
1. В числителе первой дроби вынесем за скобки общий множитель $n^2$: $mn^2 + n^3 = n^2(m + n)$.
$\frac{n^2(m + n)}{4} : \frac{n^2}{2m}$
2. Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим общие множители $n^2$ и 2:
$\frac{n^2(m + n)}{4} \cdot \frac{2m}{n^2} = \frac{\cancel{n^2}(m + n)}{\cancel{4} \space 2} \cdot \frac{\cancel{2}m}{\cancel{n^2}} = \frac{m(m + n)}{2} = \frac{m^2 + mn}{2}$
3. Теперь выполним вычитание:
$\frac{m^2 + mn}{2} - \frac{m^2 + 3mn}{2}$
4. Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
$\frac{(m^2 + mn) - (m^2 + 3mn)}{2} = \frac{m^2 + mn - m^2 - 3mn}{2} = \frac{-2mn}{2}$
5. Сократим дробь на 2:
$\frac{-\cancel{2}mn}{\cancel{2}} = -mn$
Ответ: $-mn$

г) $(\frac{2}{p^2} - \frac{2}{pq}) \cdot \frac{pq^2}{q - p}$
Сначала выполним действие в скобках.
1. Приведем дроби к общему знаменателю $p^2q$:
$\frac{2}{p^2} - \frac{2}{pq} = \frac{2 \cdot q}{p^2 \cdot q} - \frac{2 \cdot p}{pq \cdot p} = \frac{2q - 2p}{p^2q}$
2. Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(q - p)}{p^2q}$
3. Теперь выполним умножение:
$\frac{2(q - p)}{p^2q} \cdot \frac{pq^2}{q - p}$
4. Сократим общие множители $(q - p)$, $p$ и $q$:
$\frac{2\cancel{(q - p)}}{\cancel{p^2} \space p \cdot \cancel{q}} \cdot \frac{\cancel{p}\cancel{q^2} \space q}{\cancel{q - p}} = \frac{2q}{p}$
Ответ: $\frac{2q}{p}$