Номер 14, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 14, страница 30.

Условие.

14. Найдите значение выражения $\frac{x^4+x^3+x+1}{(x-1)^2} \cdot \frac{5x^3}{x^2-x+1} \cdot \frac{3x^2-6x+3}{4x^6}$ при $x = -0,5$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, разложив числители и знаменатели дробей на множители.

Исходное выражение:
$\frac{x^4 + x^3 + x + 1}{(x-1)^2} \cdot \frac{5x^3}{x^2 - x + 1} \cdot \frac{3x^2 - 6x + 3}{4x^6}$

1. Разложим на множители числитель первой дроби $x^4 + x^3 + x + 1$ методом группировки:
$x^4 + x^3 + x + 1 = x^3(x+1) + 1(x+1) = (x+1)(x^3+1)$.
Применив формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению $x^3+1$, получим:
$(x+1)(x+1)(x^2-x+1) = (x+1)^2(x^2-x+1)$.

2. Разложим на множители числитель третьей дроби $3x^2 - 6x + 3$:
$3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности:
$3(x-1)^2$.

Подставим полученные разложения обратно в исходное выражение:
$\frac{(x+1)^2(x^2-x+1)}{(x-1)^2} \cdot \frac{5x^3}{x^2 - x + 1} \cdot \frac{3(x-1)^2}{4x^6}$

Теперь выполним сокращение дробей. Сокращаются следующие множители:
- $(x-1)^2$ в знаменателе первой дроби и в числителе третьей.
- $(x^2-x+1)$ в числителе первой дроби и в знаменателе второй.
- $x^3$ в числителе второй дроби и $x^6$ в знаменателе третьей (в знаменателе останется $x^{6-3}=x^3$).

После сокращения выражение принимает вид:
$\frac{(x+1)^2}{1} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{4x^3} = \frac{15(x+1)^2}{4x^3}$

Подставим в упрощенное выражение значение $x = -0,5$:
$\frac{15(-0,5+1)^2}{4(-0,5)^3} = \frac{15(0,5)^2}{4(-0,125)} = \frac{15 \cdot 0,25}{-0,5} = \frac{3,75}{-0,5} = -7,5$

Ответ: -7,5