Номер 5, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 5, страница 26.

Условие.

5. Выполните умножение:

а) $\frac{x^3 + 8}{3x - 6} \cdot \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x + 4} = .....$

б) $(27c^3 - d^3) \cdot \frac{5c}{18c^4 + 6c^3d + 2c^2d^2} = .....$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы выполнить умножение дробей $ \frac{x^3+8}{3x-6} \cdot \frac{x^2-4x+4}{x^2-2x+4} $, разложим на множители числители и знаменатели.
1. Числитель первой дроби $x^3+8$ — это сумма кубов. Применяем формулу $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)$.
2. Знаменатель первой дроби $3x-6$. Выносим общий множитель 3:
$3x-6 = 3(x-2)$.
3. Числитель второй дроби $x^2-4x+4$ — это полный квадрат разности. Применяем формулу $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$:
$x^2-4x+4 = (x-2)^2$.
4. Знаменатель второй дроби $x^2-2x+4$ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$ \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{3(x-2)} \cdot \frac{(x-2)^2}{x^2-2x+4} $.
Сокращаем общие множители $(x^2-2x+4)$ и $(x-2)$:
$ \frac{(x+2)}{3} \cdot \frac{(x-2)}{1} = \frac{(x+2)(x-2)}{3} $.
В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ :
$ \frac{x^2-4}{3} $.
Ответ: $ \frac{x^2-4}{3} $.

б) Чтобы выполнить умножение $ (27c^3 - d^3) \cdot \frac{5c}{18c^4 + 6c^3d + 2c^2d^2} $, разложим на множители первое выражение и знаменатель дроби.
1. Выражение $27c^3 - d^3$ — это разность кубов. Применяем формулу $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$27c^3 - d^3 = (3c)^3 - d^3 = (3c-d)((3c)^2+3c \cdot d+d^2) = (3c-d)(9c^2+3cd+d^2)$.
2. В знаменателе $18c^4 + 6c^3d + 2c^2d^2$ выносим общий множитель $2c^2$ за скобки:
$18c^4 + 6c^3d + 2c^2d^2 = 2c^2(9c^2+3cd+d^2)$.
Подставим разложенные выражения в исходное:
$ \frac{(3c-d)(9c^2+3cd+d^2)}{1} \cdot \frac{5c}{2c^2(9c^2+3cd+d^2)} $.
Сокращаем общие множители $(9c^2+3cd+d^2)$, а также $c$ в числителе и $c^2$ в знаменателе:
$ \frac{3c-d}{1} \cdot \frac{5}{2c} $.
Перемножаем полученные дроби:
$ \frac{5(3c-d)}{2c} $.
Ответ: $ \frac{5(3c-d)}{2c} $.