Номер 4, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 4, страница 20.

Условие.

4. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{c+1}{c-3} - \frac{2c}{c+3}= $

б) $ \frac{y+1}{2y} - \frac{y-2}{y-3}= $

В) $ \frac{b}{3b-2} - \frac{b+1}{3b+2}= $

Г) $ \frac{d+1}{3d} + \frac{d-4}{d-2}= $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы вычесть дроби $\frac{c+1}{c-3}$ и $\frac{2c}{c+3}$, необходимо привести их к общему знаменателю.

Общим знаменателем является произведение знаменателей $(c-3)$ и $(c+3)$, что по формуле разности квадратов равно $c^2 - 9$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(c+3)$, для второй дроби — $(c-3)$.

Выполняем преобразования:

$\frac{c+1}{c-3} - \frac{2c}{c+3} = \frac{(c+1)(c+3)}{(c-3)(c+3)} - \frac{2c(c-3)}{(c-3)(c+3)} = \frac{(c+1)(c+3) - 2c(c-3)}{c^2-9}$

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:

$(c^2 + 3c + c + 3) - (2c^2 - 6c) = c^2 + 4c + 3 - 2c^2 + 6c = -c^2 + 10c + 3$

В результате получаем дробь:

$\frac{-c^2 + 10c + 3}{c^2 - 9}$

Ответ: $\frac{-c^2 + 10c + 3}{c^2 - 9}$

б) Чтобы вычесть дроби $\frac{y+1}{2y}$ и $\frac{y-2}{y-3}$, приведем их к общему знаменателю.

Общий знаменатель для $2y$ и $y-3$ — это их произведение: $2y(y-3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(y-3)$, для второй — $2y$.

Приводим к общему знаменателю и вычитаем:

$\frac{y+1}{2y} - \frac{y-2}{y-3} = \frac{(y+1)(y-3)}{2y(y-3)} - \frac{2y(y-2)}{2y(y-3)} = \frac{(y+1)(y-3) - 2y(y-2)}{2y(y-3)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$(y^2 - 3y + y - 3) - (2y^2 - 4y) = y^2 - 2y - 3 - 2y^2 + 4y = -y^2 + 2y - 3$

В результате получаем дробь:

$\frac{-y^2 + 2y - 3}{2y(y-3)}$

Ответ: $\frac{-y^2 + 2y - 3}{2y(y-3)}$

в) Чтобы вычесть дроби $\frac{b}{3b-2}$ и $\frac{b+1}{3b+2}$, приведем их к общему знаменателю.

Общий знаменатель — это произведение $(3b-2)(3b+2)$, что равно $9b^2-4$ по формуле разности квадратов.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(3b+2)$, для второй — $(3b-2)$.

Выполняем преобразования:

$\frac{b}{3b-2} - \frac{b+1}{3b+2} = \frac{b(3b+2)}{(3b-2)(3b+2)} - \frac{(b+1)(3b-2)}{(3b-2)(3b+2)} = \frac{b(3b+2) - (b+1)(3b-2)}{9b^2-4}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные:

$(3b^2+2b) - (3b^2 - 2b + 3b - 2) = 3b^2+2b - (3b^2+b-2) = 3b^2+2b-3b^2-b+2 = b+2$

В результате получаем дробь:

$\frac{b+2}{9b^2-4}$

Ответ: $\frac{b+2}{9b^2-4}$

г) Чтобы сложить дроби $\frac{d+1}{3d}$ и $\frac{d-4}{d-2}$, приведем их к общему знаменателю.

Общий знаменатель для $3d$ и $d-2$ — это их произведение: $3d(d-2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(d-2)$, для второй — $3d$.

Приводим к общему знаменателю и складываем:

$\frac{d+1}{3d} + \frac{d-4}{d-2} = \frac{(d+1)(d-2)}{3d(d-2)} + \frac{3d(d-4)}{3d(d-2)} = \frac{(d+1)(d-2) + 3d(d-4)}{3d(d-2)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$(d^2 - 2d + d - 2) + (3d^2 - 12d) = d^2 - d - 2 + 3d^2 - 12d = 4d^2 - 13d - 2$

В результате получаем дробь:

$\frac{4d^2 - 13d - 2}{3d(d-2)}$

Ответ: $\frac{4d^2 - 13d - 2}{3d(d-2)}$