Номер 3, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 3, страница 20.

Условие.

3. Выполните указанное действие:

а) $\frac{a + 2}{3a^3} - \frac{a^2 - 1}{a^5} = \ldots$

б) $\frac{5}{2b^2} + \frac{1 - b^4}{3b^6} = \ldots$

в) $\frac{7 - m}{6m^3} - \frac{3 + 2m}{2m^2} = \ldots$

г) $\frac{2 - 3p^2}{15p^6} + \frac{4 + p}{10p^4} = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{a+2}{3a^3} - \frac{a^2-1}{a^5}$

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $3a^3$ и $a^5$ равен $3a^5$.

Найдём дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби: $\frac{3a^5}{3a^3} = a^2$. Для второй дроби: $\frac{3a^5}{a^5} = 3$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{(a+2) \cdot a^2}{3a^3 \cdot a^2} - \frac{(a^2-1) \cdot 3}{a^5 \cdot 3} = \frac{a^3+2a^2}{3a^5} - \frac{3a^2-3}{3a^5}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{a^3+2a^2 - (3a^2-3)}{3a^5} = \frac{a^3+2a^2 - 3a^2+3}{3a^5} = \frac{a^3-a^2+3}{3a^5}$

Ответ: $\frac{a^3-a^2+3}{3a^5}$

б) $\frac{5}{2b^2} + \frac{1-b^4}{3b^6}$

Приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для знаменателей $2b^2$ и $3b^6$ равен $6b^6$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{6b^6}{2b^2} = 3b^4$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{6b^6}{3b^6} = 2$.

Умножим числители на их дополнительные множители:

$\frac{5 \cdot 3b^4}{6b^6} + \frac{(1-b^4) \cdot 2}{6b^6} = \frac{15b^4}{6b^6} + \frac{2-2b^4}{6b^6}$

Выполним сложение числителей:

$\frac{15b^4 + 2-2b^4}{6b^6} = \frac{13b^4+2}{6b^6}$

Ответ: $\frac{13b^4+2}{6b^6}$

в) $\frac{7-m}{6m^3} - \frac{3+2m}{2m^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для знаменателей $6m^3$ и $2m^2$ равен $6m^3$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{6m^3}{2m^2} = 3m$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $3m$:

$\frac{7-m}{6m^3} - \frac{(3+2m) \cdot 3m}{2m^2 \cdot 3m} = \frac{7-m}{6m^3} - \frac{9m+6m^2}{6m^3}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{7-m - (9m+6m^2)}{6m^3} = \frac{7-m-9m-6m^2}{6m^3} = \frac{7-10m-6m^2}{6m^3}$

Ответ: $\frac{7-10m-6m^2}{6m^3}$

г) $\frac{2-3p^2}{15p^6} + \frac{4+p}{10p^4}$

Приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для чисел 15 и 10 равен 30. НОЗ для $p^6$ и $p^4$ равен $p^6$. Таким образом, общий знаменатель равен $30p^6$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{30p^6}{15p^6} = 2$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{30p^6}{10p^4} = 3p^2$.

Умножим числители на их дополнительные множители:

$\frac{(2-3p^2) \cdot 2}{30p^6} + \frac{(4+p) \cdot 3p^2}{30p^6} = \frac{4-6p^2}{30p^6} + \frac{12p^2+3p^3}{30p^6}$

Выполним сложение числителей:

$\frac{4-6p^2 + 12p^2+3p^3}{30p^6} = \frac{3p^3+6p^2+4}{30p^6}$

Ответ: $\frac{3p^3+6p^2+4}{30p^6}$