Номер 10, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 10, страница 17.

Условие.

10. Упростите выражение:

a) $ \frac{a^2 + 7ab}{(a + 5b)^2} - \frac{5ab}{(a + 5b)^2} - \frac{2ab + 25b^2}{(a + 5b)^2} = $

б) $ \frac{(x + 2y)^3}{3x^2 + 4y^2} - \frac{(x - 2y)^3}{3x^2 + 4y^2} = $

Решение.

Решение 2.

а)

Данное выражение представляет собой сумму и разность трех дробей с одинаковым знаменателем. Чтобы его упростить, выполним действия с числителями, а знаменатель оставим без изменений.

$\frac{a^2 + 7ab}{(a + 5b)^2} - \frac{5ab}{(a + 5b)^2} - \frac{2ab + 25b^2}{(a + 5b)^2} = \frac{(a^2 + 7ab) - 5ab - (2ab + 25b^2)}{(a + 5b)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2 + 7ab - 5ab - 2ab - 25b^2}{(a + 5b)^2} = \frac{a^2 + (7-5-2)ab - 25b^2}{(a + 5b)^2} = \frac{a^2 - 25b^2}{(a + 5b)^2}$

Числитель представляет собой разность квадратов $a^2 - (5b)^2$, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$\frac{(a - 5b)(a + 5b)}{(a + 5b)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + 5b)$:

$\frac{(a - 5b)\cancel{(a + 5b)}}{\cancel{(a + 5b)}(a + 5b)} = \frac{a - 5b}{a + 5b}$

Ответ: $\frac{a - 5b}{a + 5b}$

б)

В данном выражении мы вычитаем две дроби с одинаковым знаменателем. Объединим их в одну дробь:

$\frac{(x + 2y)^3}{3x^2 + 4y^2} - \frac{(x - 2y)^3}{3x^2 + 4y^2} = \frac{(x + 2y)^3 - (x - 2y)^3}{3x^2 + 4y^2}$

Числитель дроби является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$. В нашем случае $A = x + 2y$ и $B = x - 2y$.

Найдем каждую часть формулы:

• $A - B = (x + 2y) - (x - 2y) = x + 2y - x + 2y = 4y$
• $A^2 = (x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$
• $B^2 = (x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$
• $AB = (x + 2y)(x - 2y) = x^2 - 4y^2$

Теперь подставим эти выражения в $(A - B)(A^2 + AB + B^2)$:

$(4y) \cdot ((x^2 + 4xy + 4y^2) + (x^2 - 4y^2) + (x^2 - 4xy + 4y^2))$

Упростим выражение во вторых скобках:

$x^2 + 4xy + 4y^2 + x^2 - 4y^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = (x^2+x^2+x^2) + (4xy - 4xy) + (4y^2 - 4y^2 + 4y^2) = 3x^2 + 4y^2$

Таким образом, числитель равен $4y(3x^2 + 4y^2)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{4y(3x^2 + 4y^2)}{3x^2 + 4y^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(3x^2 + 4y^2)$:

$\frac{4y\cancel{(3x^2 + 4y^2)}}{\cancel{3x^2 + 4y^2}} = 4y$

Ответ: $4y$