Номер 8, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 8, страница 16.

Условие.

8. Воспользовавшись равенством $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$, представьте дробь в виде суммы целого выражения и дроби:

a) $\frac{5x+2y}{x} = $

б) $\frac{4a+4b+c-d}{4} = $

в) $\frac{y^2+3y+12}{y+3} = $

г) $\frac{c^2+8c+3}{c+6} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить дробь в виде суммы целого выражения и дроби, воспользуемся правилом деления многочлена на одночлен. Разделим каждый член числителя $5x + 2y$ на знаменатель $x$:

$ \frac{5x + 2y}{x} = \frac{5x}{x} + \frac{2y}{x} $

Сократим первое слагаемое: $ \frac{5x}{x} = 5 $. Второе слагаемое $ \frac{2y}{x} $ не сокращается. В результате получаем сумму целого выражения $5$ и дроби $ \frac{2y}{x} $.

Ответ: $ 5 + \frac{2y}{x} $

б) Аналогично предыдущему примеру, разделим каждый член числителя $4a + 4b + c - d$ на знаменатель $4$:

$ \frac{4a + 4b + c - d}{4} = \frac{4a}{4} + \frac{4b}{4} + \frac{c}{4} - \frac{d}{4} $

Сокращаем первые два слагаемых: $ \frac{4a}{4} = a $ и $ \frac{4b}{4} = b $. Оставшиеся дроби можно объединить в одну: $ \frac{c}{4} - \frac{d}{4} = \frac{c-d}{4} $. В итоге получаем сумму целого выражения $ a + b $ и дроби $ \frac{c-d}{4} $.

Ответ: $ a + b + \frac{c-d}{4} $

в) В этом случае знаменатель является двучленом. Чтобы выделить целую часть, нужно преобразовать числитель так, чтобы из него можно было выделить множитель, равный знаменателю. Для дроби $ \frac{y^2 + 3y + 12}{y + 3} $ заметим, что $ y^2 + 3y = y(y+3) $.

Представим числитель в виде $ (y^2 + 3y) + 12 = y(y+3) + 12 $. Теперь подставим это в дробь:

$ \frac{y(y+3) + 12}{y + 3} = \frac{y(y+3)}{y+3} + \frac{12}{y+3} $

Сократив первую дробь, получаем $y$. Таким образом, исходная дробь равна сумме целого выражения $y$ и дроби $ \frac{12}{y+3} $.

Ответ: $ y + \frac{12}{y+3} $

г) Для дроби $ \frac{c^2 + 8c + 3}{c + 6} $ применим метод выделения целой части путем деления многочлена на многочлен. Преобразуем числитель, чтобы выделить слагаемые, кратные знаменателю $c+6$.

Сначала выделим из $c^2 + 8c$ слагаемое, содержащее $c(c+6)$:

$ c^2 + 8c + 3 = (c^2 + 6c) + 2c + 3 = c(c+6) + 2c + 3 $

Теперь в оставшемся выражении $2c+3$ выделим слагаемое, содержащее $2(c+6)$:

$ 2c + 3 = (2c + 12) - 9 = 2(c+6) - 9 $

Объединим преобразования:

$ c^2 + 8c + 3 = c(c+6) + 2(c+6) - 9 = (c+2)(c+6) - 9 $

Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:

$ \frac{(c+2)(c+6) - 9}{c+6} = \frac{(c+2)(c+6)}{c+6} - \frac{9}{c+6} = c+2 - \frac{9}{c+6} $

В результате мы представили дробь в виде суммы целого выражения $c+2$ и дроби $ -\frac{9}{c+6} $.

Ответ: $ c + 2 - \frac{9}{c+6} $