Номер 7, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 7, страница 16.

Условие.

7. Докажите, что:

а) выражение $\frac{(x - 2y)^2}{x^2 + 4y^2} + \frac{(x + 2y)^2}{x^2 + 4y^2}$ тождественно равно 2;

б) выражение $\frac{(2a - 3b)^2}{8ab} - \frac{(2a + 3b)^2}{8ab}$ тождественно равно -3.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что выражение $\frac{(x - 2y)^2}{x^2 + 4y^2} + \frac{(x + 2y)^2}{x^2 + 4y^2}$ тождественно равно 2, преобразуем его левую часть.

Так как обе дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители:

$\frac{(x - 2y)^2 + (x + 2y)^2}{x^2 + 4y^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x - 2y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

$(x + 2y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$

Теперь подставим полученные многочлены в числитель дроби:

$\frac{(x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 + 4xy + 4y^2)}{x^2 + 4y^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2 + x^2 - 4xy + 4xy + 4y^2 + 4y^2}{x^2 + 4y^2} = \frac{2x^2 + 8y^2}{x^2 + 4y^2}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(x^2 + 4y^2)}{x^2 + 4y^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 4y^2)$, который отличен от нуля при допустимых значениях переменных ($x$ и $y$ не равны нулю одновременно):

$\frac{2\cancel{(x^2 + 4y^2)}}{\cancel{x^2 + 4y^2}} = 2$

Мы показали, что левая часть выражения тождественно равна 2.

Ответ: что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что выражение $\frac{(2a - 3b)^2}{8ab} - \frac{(2a + 3b)^2}{8ab}$ тождественно равно -3, преобразуем его левую часть.

Так как знаменатели у дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(2a - 3b)^2 - (2a + 3b)^2}{8ab}$

Числитель представляет собой разность квадратов вида $X^2 - Y^2$, которую можно разложить по формуле $(X-Y)(X+Y)$. В нашем случае $X = 2a - 3b$ и $Y = 2a + 3b$.

Применим формулу разности квадратов к числителю:

$(2a - 3b)^2 - (2a + 3b)^2 = ((2a - 3b) - (2a + 3b)) \cdot ((2a - 3b) + (2a + 3b))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(2a - 3b - 2a - 3b) \cdot (2a - 3b + 2a + 3b) = (-6b) \cdot (4a) = -24ab$

Подставим полученный результат в числитель дроби:

$\frac{-24ab}{8ab}$

Сократим дробь на общий множитель $8ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$):

$\frac{-24\cancel{ab}}{8\cancel{ab}} = -3$

Мы показали, что левая часть выражения тождественно равна -3.

Ответ: что и требовалось доказать.