Номер 6, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 6, страница 16.

Условие.

6. Упростите выражение:

a) $ \frac{2p+q}{4q-p} - \frac{3p-q}{p-4q} = $

б) $ \frac{x^2-5}{x-2} + \frac{x^2-8}{2-x} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Обратим внимание, что знаменатели дробей отличаются только знаком: $p - 4q = -(4q - p)$.

Исходное выражение: $\frac{2p + q}{4q - p} - \frac{3p - q}{p - 4q}$

Заменим знаменатель второй дроби, вынеся за скобки $-1$. Это изменит знак перед дробью с «-» на «+»:

$\frac{2p + q}{4q - p} - \frac{3p - q}{-(4q - p)} = \frac{2p + q}{4q - p} + \frac{3p - q}{4q - p}$

Теперь, когда у дробей общий знаменатель, мы можем сложить их числители:

$\frac{(2p + q) + (3p - q)}{4q - p} = \frac{2p + q + 3p - q}{4q - p}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2p + 3p) + (q - q)}{4q - p} = \frac{5p}{4q - p}$

Ответ: $\frac{5p}{4q - p}$

б) Для упрощения этого выражения также приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $2 - x$ можно записать как $-(x - 2)$.

Исходное выражение: $\frac{x^2 - 5}{x - 2} + \frac{x^2 - 8}{2 - x}$

Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя перед дробью:

$\frac{x^2 - 5}{x - 2} + \frac{x^2 - 8}{-(x - 2)} = \frac{x^2 - 5}{x - 2} - \frac{x^2 - 8}{x - 2}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(x^2 - 5) - (x^2 - 8)}{x - 2} = \frac{x^2 - 5 - x^2 + 8}{x - 2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^2 - x^2) + (-5 + 8)}{x - 2} = \frac{3}{x - 2}$

Ответ: $\frac{3}{x - 2}$