Номер 5, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 5, страница 15.

Условие.

5. Выполните указанное действие:

a) $\frac{x+2}{x-3} - \frac{5}{3-x} =$

б) $\frac{z^2}{z-1} + \frac{1}{1-z} =$

в) $\frac{3a}{a-2b} + \frac{6b}{2b-a} =$

г) $\frac{y^2+1}{y^2-4} - \frac{y^2-2}{4-y^2} =$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x+2}{x-3} - \frac{5}{3-x}$, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $3-x$ можно представить как $-(x-3)$. Тогда выражение можно переписать, изменив знак перед дробью:
$\frac{x+2}{x-3} - \frac{5}{3-x} = \frac{x+2}{x-3} - \frac{5}{-(x-3)} = \frac{x+2}{x-3} + \frac{5}{x-3}$.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{x+2+5}{x-3} = \frac{x+7}{x-3}$.
Ответ: $\frac{x+7}{x-3}$

б) В выражении $\frac{z^2}{z-1} + \frac{1}{1-z}$ приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $1-z = -(z-1)$.
$\frac{z^2}{z-1} + \frac{1}{-(z-1)} = \frac{z^2}{z-1} - \frac{1}{z-1}$.
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{z^2 - 1}{z-1}$.
Числитель $z^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $z^2 - 1 = (z-1)(z+1)$.
$\frac{(z-1)(z+1)}{z-1}$.
Сократим дробь на общий множитель $(z-1)$:
$z+1$.
Ответ: $z+1$

в) В выражении $\frac{3a}{a-2b} + \frac{6b}{2b-a}$ приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $2b-a = -(a-2b)$.
$\frac{3a}{a-2b} + \frac{6b}{-(a-2b)} = \frac{3a}{a-2b} - \frac{6b}{a-2b}$.
Теперь вычтем числители:
$\frac{3a-6b}{a-2b}$.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки:
$\frac{3(a-2b)}{a-2b}$.
Сократим дробь на $(a-2b)$:
$3$.
Ответ: $3$

г) Рассмотрим выражение $\frac{y^2+1}{y^2-4} - \frac{y^2-2}{4-y^2}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $4-y^2 = -(y^2-4)$.
$\frac{y^2+1}{y^2-4} - \frac{y^2-2}{-(y^2-4)} = \frac{y^2+1}{y^2-4} + \frac{y^2-2}{y^2-4}$.
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{(y^2+1)+(y^2-2)}{y^2-4}$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{y^2+1+y^2-2}{y^2-4} = \frac{2y^2-1}{y^2-4}$.
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{2y^2-1}{y^2-4}$