Номер 11, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 11, страница 13.

Условие.

11. Сократите дробь:

а) $\frac{\overline{ab} + \overline{ba}}{11} = \frac{10a + b + 10b + a}{11} = ...$

б) $\frac{\overline{abc} - \overline{cba}}{99} = ...$

в) $\frac{\overline{abbc} - \overline{cbba}}{999} = ...$

Решение.

Решение 2.

а)

В данном выражении черта над буквенным выражением, например $\overline{ab}$, означает, что это запись числа в десятичной системе счисления, где $a$ и $b$ — это цифры. То есть, $\overline{ab}$ — это двузначное число, которое можно представить в виде суммы разрядных слагаемых как $10a + b$.

Раскроем числитель дроби, используя это правило:

$\overline{ab} = 10a + b$

$\overline{ba} = 10b + a$

Теперь подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{\overline{ab} + \overline{ba}}{11} = \frac{(10a + b) + (10b + a)}{11}$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{10a + a + b + 10b}{11} = \frac{11a + 11b}{11}$

Вынесем общий множитель 11 за скобки в числителе и сократим дробь:

$\frac{11(a + b)}{11} = a + b$

Ответ: $a + b$

б)

Аналогично предыдущему пункту, раскроем числитель. В этом случае $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ — это трехзначные числа.

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

$\overline{cba} = 100c + 10b + a$

Подставим эти разложения в дробь и выполним вычитание в числителе:

$\frac{\overline{abc} - \overline{cba}}{99} = \frac{(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)}{99}$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки, и приведем подобные слагаемые:

$\frac{100a + 10b + c - 100c - 10b - a}{99} = \frac{(100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)}{99} = \frac{99a - 99c}{99}$

Вынесем общий множитель 99 за скобки и сократим дробь:

$\frac{99(a - c)}{99} = a - c$

Ответ: $a - c$

в)

В данном примере $\overline{abbc}$ и $\overline{cbba}$ — это четырехзначные числа. Распишем их в виде суммы разрядных слагаемых.

$\overline{abbc} = 1000 \cdot a + 100 \cdot b + 10 \cdot b + c = 1000a + 110b + c$

$\overline{cbba} = 1000 \cdot c + 100 \cdot b + 10 \cdot b + a = 1000c + 110b + a$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{\overline{abbc} - \overline{cbba}}{999} = \frac{(1000a + 110b + c) - (1000c + 110b + a)}{999}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{1000a + 110b + c - 1000c - 110b - a}{999} = \frac{(1000a - a) + (110b - 110b) + (c - 1000c)}{999} = \frac{999a - 999c}{999}$

Вынесем общий множитель 999 за скобки и выполним сокращение:

$\frac{999(a - c)}{999} = a - c$

Ответ: $a - c$