Номер 9, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 9, страница 12.

Условие.

9. Сократите дробь (n — натуральное число):

a) $ \frac{x^{n+1}-2x^n}{x^n-2x^{n-1}} $

б) $ \frac{a^{n+2}b^{n+3} + a^n b^{n+2}}{a^{n+1}b^{n+2} + a^{n-1}b^{n+1}} $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сократить дробь, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и вынести их за скобки.

Исходное выражение: $ \frac{x^{n+1} - 2x^n}{x^n - 2x^{n-1}} $.

В числителе $x^{n+1} - 2x^n$ вынесем за скобки общий множитель $x^n$ (так как это наименьшая степень $x$ в числителе):

$x^{n+1} - 2x^n = x^n \cdot x^1 - 2x^n = x^n(x - 2)$.

В знаменателе $x^n - 2x^{n-1}$ вынесем за скобки общий множитель $x^{n-1}$ (наименьшая степень $x$ в знаменателе):

$x^n - 2x^{n-1} = x^{n-1} \cdot x^1 - 2x^{n-1} = x^{n-1}(x - 2)$.

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$ \frac{x^n(x - 2)}{x^{n-1}(x - 2)} $.

Сокращаем общий множитель $(x - 2)$ (при условии, что $x \neq 2$). Затем сокращаем степени переменной $x$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$ \frac{x^n}{x^{n-1}} = x^{n - (n-1)} = x^{n - n + 1} = x^1 = x $.

Ответ: $x$

б) Поступим аналогично предыдущему пункту: вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе дроби.

Исходное выражение: $ \frac{a^{n+2}b^{n+3} + a^nb^{n+2}}{a^{n+1}b^{n+2} + a^{n-1}b^{n+1}} $.

В числителе $a^{n+2}b^{n+3} + a^nb^{n+2}$ найдем общий множитель. Для переменной $a$ наименьшая степень $n$, для $b$ — $n+2$. Таким образом, общий множитель — $a^nb^{n+2}$.

$a^{n+2}b^{n+3} + a^nb^{n+2} = (a^n \cdot a^2 \cdot b^{n+2} \cdot b^1) + (a^nb^{n+2}) = a^nb^{n+2}(a^2b + 1)$.

В знаменателе $a^{n+1}b^{n+2} + a^{n-1}b^{n+1}$ найдем общий множитель. Для переменной $a$ наименьшая степень $n-1$, для $b$ — $n+1$. Таким образом, общий множитель — $a^{n-1}b^{n+1}$.

$a^{n+1}b^{n+2} + a^{n-1}b^{n+1} = (a^{n-1} \cdot a^2 \cdot b^{n+1} \cdot b^1) + (a^{n-1}b^{n+1}) = a^{n-1}b^{n+1}(a^2b + 1)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{a^nb^{n+2}(a^2b + 1)}{a^{n-1}b^{n+1}(a^2b + 1)} $.

Сокращаем общий множитель $(a^2b + 1)$ (при условии, что $a^2b + 1 \neq 0$). Затем сокращаем оставшиеся части:

$ \frac{a^nb^{n+2}}{a^{n-1}b^{n+1}} = \frac{a^n}{a^{n-1}} \cdot \frac{b^{n+2}}{b^{n+1}} = a^{n-(n-1)} \cdot b^{(n+2)-(n+1)} = a^{1} \cdot b^{1} = ab $.

Ответ: $ab$