Номер 10, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 10, страница 12.

Условие.

10. Сократите дробь:

a) $\frac{4x^2 - 12xy + 9y^2}{8x^3 - 27y^3} =$

б) $\frac{25x^2 + 10xy + 4y^2}{125x^3 - 8y^3} =$

Решение.

Решение 2.

a)

Чтобы сократить дробь $\frac{4x^2 - 12xy + 9y^2}{8x^3 - 27y^3}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $4x^2 - 12xy + 9y^2$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В данном случае $a = 2x$ и $b = 3y$. Проверим средний член: $-2 \cdot (2x) \cdot (3y) = -12xy$. Формула верна.

Таким образом, числитель равен $(2x - 3y)^2$.

Знаменатель $8x^3 - 27y^3$ представляет собой разность кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В данном случае $a = 2x$ и $b = 3y$.

Таким образом, знаменатель равен $(2x - 3y)((2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$.

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:

$\frac{(2x-3y)^2}{(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)}$

Сократим общий множитель $(2x-3y)$:

$\frac{2x-3y}{4x^2+6xy+9y^2}$

Ответ: $\frac{2x-3y}{4x^2+6xy+9y^2}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{25x^2 + 10xy + 4y^2}{125x^3 - 8y^3}$, разложим на множители ее знаменатель.

Знаменатель $125x^3 - 8y^3$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В данном случае $a = 5x$ и $b = 2y$.

Таким образом, знаменатель равен $(5x - 2y)((5x)^2 + (5x)(2y) + (2y)^2) = (5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)$.

Теперь запишем дробь с разложенным знаменателем:

$\frac{25x^2 + 10xy + 4y^2}{(5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)}$

Числитель дроби и один из множителей в знаменателе совпадают. Сократим общий множитель $(25x^2 + 10xy + 4y^2)$:

$\frac{1}{5x-2y}$

Ответ: $\frac{1}{5x-2y}$