Номер 14, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 14, страница 18.

Условие.

14. Найдите значение выражения $ \frac{c^2 - 5cd}{c^2 - 2cd} - \frac{d(2c + 3d)}{c^2 - 2cd} + \frac{d^2 - 7cd}{2cd - c^2} $ при условии, что $ \frac{c}{d} = \frac{1}{5} $.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его. Заметим, что знаменатели первых двух дробей одинаковы, а знаменатель третьей дроби отличается от них только знаком.

Исходное выражение:

$\frac{c^2 - 5cd}{c^2 - 2cd} - \frac{d(2c + 3d)}{c^2 - 2cd} + \frac{d^2 - 7cd}{2cd - c^2}$

Знаменатель третьей дроби $2cd - c^2$ можно представить как $-(c^2 - 2cd)$. Используем это, чтобы привести все дроби к общему знаменателю $c^2 - 2cd$. Для этого изменим знак перед третьей дробью:

$\frac{c^2 - 5cd}{c^2 - 2cd} - \frac{d(2c + 3d)}{c^2 - 2cd} - \frac{d^2 - 7cd}{c^2 - 2cd}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можем объединить числители:

$\frac{(c^2 - 5cd) - d(2c + 3d) - (d^2 - 7cd)}{c^2 - 2cd}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{c^2 - 5cd - 2cd - 3d^2 - d^2 + 7cd}{c^2 - 2cd}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{c^2 + (-5cd - 2cd + 7cd) + (-3d^2 - d^2)}{c^2 - 2cd} = \frac{c^2 - 4d^2}{c^2 - 2cd}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $c^2 - 4d^2$ — это разность квадратов, которую можно записать как $(c-2d)(c+2d)$. В знаменателе $c^2 - 2cd$ можно вынести общий множитель $c$ за скобки, получив $c(c-2d)$.

$\frac{(c - 2d)(c + 2d)}{c(c - 2d)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c - 2d)$. Отметим, что это сокращение допустимо, так как из условия $\frac{c}{d} = \frac{1}{5}$ следует, что $c \neq 2d$ (иначе $\frac{c}{d}$ было бы равно 2).

После сокращения получаем простое выражение:

$\frac{c + 2d}{c}$

Теперь воспользуемся условием $\frac{c}{d} = \frac{1}{5}$. Отсюда следует, что $\frac{d}{c} = 5$.

Преобразуем наше упрощенное выражение:

$\frac{c}{c} + \frac{2d}{c} = 1 + 2 \cdot \frac{d}{c}$

Подставим значение $\frac{d}{c} = 5$:

$1 + 2 \cdot 5 = 1 + 10 = 11$

Ответ: 11