Номер 11, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Рациональные выражения. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 11, страница 7.

Условие.

11. Чему равно наибольшее значение дроби $\frac{15}{x^2+6+9y^2+6xy}$?

Решение.

Решение 2.

Для нахождения наибольшего значения дроби $\frac{15}{x^2 + 6 + 9y^2 + 6xy}$ необходимо найти наименьшее значение ее знаменателя, поскольку числитель (15) является положительной константой.

Рассмотрим знаменатель дроби: $Z = x^2 + 6 + 9y^2 + 6xy$. Перегруппируем его члены, чтобы выделить полный квадрат:

$Z = (x^2 + 6xy + 9y^2) + 6$

Выражение в скобках, $x^2 + 6xy + 9y^2$, является полным квадратом суммы. Используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3y$, получаем:

$(x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$

Таким образом, знаменатель можно представить в виде:

$Z = (x + 3y)^2 + 6$

Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, наименьшее значение выражения $(x + 3y)^2$ равно 0. Это значение достигается при условии $x + 3y = 0$.

Следовательно, наименьшее значение всего знаменателя равно:

$Z_{min} = 0 + 6 = 6$

Теперь мы можем вычислить наибольшее значение исходной дроби, подставив в нее минимальное значение знаменателя:

Максимальное значение дроби = $\frac{15}{Z_{min}} = \frac{15}{6}$

Сократив дробь, получаем конечный результат:

$\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $2.5$