Номер 10, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Рациональные выражения. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 10, страница 7.

Условие.

10. Найдите допустимые значения переменных в выражении:

a) $\frac{4x}{|x-2|}$;

б) $\frac{x^2+y^2+1}{5xy}$;

в) $\frac{4y+3}{y^3-36y}$.

Ответ: a) ................ б) ................ в) ................

Решение.

Решение 2.

а)

Данное выражение является дробью $\frac{4x}{|x|-2}$. Допустимые значения переменной для дроби определяются условием, что ее знаменатель не должен равняться нулю.

Запишем и решим соответствующее неравенство:

$|x| - 2 \neq 0$

$|x| \neq 2$

Модуль числа равен 2 в двух случаях: когда само число равно 2 или -2. Следовательно, переменная $x$ не может принимать эти значения.

$x \neq 2$ и $x \neq -2$

Ответ: все действительные числа, кроме $x = -2$ и $x = 2$.

б)

Выражение $\frac{x^2+y^2+1}{5xy}$ также является дробью. Его знаменатель не может быть равен нулю.

$5xy \neq 0$

Произведение нескольких множителей не равно нулю тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю. В данном случае это означает, что ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю.

$x \neq 0$ и $y \neq 0$

Ответ: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

в)

В выражении $\frac{4y+3}{y^3-36y}$ знаменатель также не должен обращаться в нуль.

$y^3 - 36y \neq 0$

Чтобы найти недопустимые значения, решим уравнение, приравняв знаменатель к нулю. Сначала вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 - 36) = 0$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y(y - 6)(y + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три недопустимых значения для $y$:

$y = 0$
$y - 6 = 0 \implies y = 6$
$y + 6 = 0 \implies y = -6$

Следовательно, переменная $y$ может принимать любые значения, кроме 0, 6 и -6.

Ответ: все действительные числа, кроме $y = -6$, $y = 0$ и $y = 6$.