Номер 3, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите уравнение:

1) $\frac{2}{7}x^2 - 3x + 7 = 0;$

2) $3x^2 - 2x - 5 = 0;$

3) $19 - 7x - 2x^2 = (x+7)^2;$

4) $\frac{x^2 - 1}{3} - \frac{2x - 1}{5} = 2;$

5) $x^4 = (x - 20)^2;$

6) $x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 28.$

1) $\frac{2}{7}x^2 - 3x + 7 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = \frac{2}{7}$, $b = -3$, $c = 7$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot \frac{2}{7} \cdot 7 = 9 - 8 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot \frac{2}{7}} = \frac{3 + 1}{\frac{4}{7}} = \frac{4}{\frac{4}{7}} = 7$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot \frac{2}{7}} = \frac{3 - 1}{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\frac{4}{7}} = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = 3.5$.

2) $3x^2 - 2x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3$, $b = -2$, $c = -5$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = 8$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
$x_2 = \frac{-(-2) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Ответ: $x_1 = \frac{5}{3}, x_2 = -1$.

3) $19 - 7x - 2x^2 = (x + 7)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$19 - 7x - 2x^2 = x^2 + 14x + 49$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 14x + 49 - 19 + 7x + 2x^2 = 0$
$3x^2 + 21x + 30 = 0$
Разделим все уравнение на 3 для упрощения:
$x^2 + 7x + 10 = 0$
Решим полученное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $10$. Корнями являются числа $-2$ и $-5$.
$x_1 = -2$, $x_2 = -5$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -5$.

4) $\frac{x^2 - 1}{3} - \frac{2x - 1}{5} = 2$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 15:
$15 \cdot \frac{x^2 - 1}{3} - 15 \cdot \frac{2x - 1}{5} = 15 \cdot 2$
$5(x^2 - 1) - 3(2x - 1) = 30$
Раскроем скобки:
$5x^2 - 5 - 6x + 3 = 30$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:
$5x^2 - 6x - 2 - 30 = 0$
$5x^2 - 6x - 32 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 36 + 640 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-6) + 26}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 26}{10} = \frac{32}{10} = 3.2$
$x_2 = \frac{-(-6) - 26}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 26}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

Ответ: $x_1 = 3.2, x_2 = -2$.

5) $x^4 = (x - 20)^2$

Перепишем уравнение в виде $x^4 - (x - 20)^2 = 0$.
Это разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2$ и $b = x - 20$.
$(x^2 - (x - 20))(x^2 + (x - 20)) = 0$
$(x^2 - x + 20)(x^2 + x - 20) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $x^2 - x + 20 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 - 80 = -79$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
2. $x^2 + x - 20 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно $-20$, а сумма $-1$. Корнями являются числа $4$ и $-5$.
$x_1 = 4$, $x_2 = -5$.

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -5$.

6) $x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 28$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$6 - x \geq 0 \implies x \leq 6$.
В исходном уравнении можно сократить одинаковые слагаемые $\sqrt{6 - x}$ в обеих частях:
$x^2 - 3x = 28$
Перенесем 28 в левую часть:
$x^2 - 3x - 28 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-28$, а сумма равна $3$. Корнями являются числа $7$ и $-4$.
$x_1 = 7$, $x_2 = -4$.
Теперь проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \leq 6$):
- Для $x_1 = 7$: $7 > 6$ - неверно. Этот корень является посторонним.
- Для $x_2 = -4$: $-4 \leq 6$ - верно. Этот корень подходит.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = -4$.