Номер 27.40, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.40, страница 228.

Условие.

27.40. Остаток при делении трёхзначного числа $n = \overline{aa5}$ на некоторое однозначное число равен 8. Найдите число $n$.

Решение.

Пусть $n = \overline{aa5}$ - искомое трёхзначное число, а $d$ - некоторое однозначное число (делитель). По условию, остаток от деления $n$ на $d$ равен 8.

Это можно записать в виде равенства: $n = q \cdot d + 8$, где $q$ - неполное частное.

Согласно свойству деления с остатком, остаток всегда должен быть меньше делителя. Следовательно, $8 < d$.

Поскольку $d$ является однозначным числом (то есть $d \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$), единственное значение, удовлетворяющее условию $d > 8$, это $d = 9$.

Итак, мы установили, что число $n$ при делении на 9 даёт в остатке 8.

Для проверки делимости на 9 и нахождения остатка можно использовать свойство, связанное с суммой цифр числа. Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.

Число $n$ представлено в виде $\overline{aa5}$. Сумма его цифр равна $S = a + a + 5 = 2a + 5$.

Так как остаток от деления $n$ на 9 равен 8, то и остаток от деления суммы цифр $(2a + 5)$ на 9 также должен быть равен 8. Запишем это в виде сравнения по модулю 9: $2a + 5 \equiv 8 \pmod{9}$

Решим это сравнение относительно $a$: $2a \equiv 8 - 5 \pmod{9}$ $2a \equiv 3 \pmod{9}$

Так как $n$ — трёхзначное число, цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Подберём такое значение $a$, чтобы $2a$ при делении на 9 давало в остатке 3.

• При $a=1$: $2 \cdot 1 = 2$; $2 \equiv 2 \pmod{9}$
• При $a=2$: $2 \cdot 2 = 4$; $4 \equiv 4 \pmod{9}$
• При $a=3$: $2 \cdot 3 = 6$; $6 \equiv 6 \pmod{9}$
• При $a=4$: $2 \cdot 4 = 8$; $8 \equiv 8 \pmod{9}$
• При $a=5$: $2 \cdot 5 = 10$; $10 \equiv 1 \pmod{9}$
• При $a=6$: $2 \cdot 6 = 12$; $12 = 1 \cdot 9 + 3$, значит $12 \equiv 3 \pmod{9}$. Это значение подходит.
• При $a=7$: $2 \cdot 7 = 14$; $14 \equiv 5 \pmod{9}$
• При $a=8$: $2 \cdot 8 = 16$; $16 \equiv 7 \pmod{9}$
• При $a=9$: $2 \cdot 9 = 18$; $18 \equiv 0 \pmod{9}$

Единственное подходящее значение — это $a=6$.

Следовательно, искомое число $n = \overline{aa5} = 665$.

Проверка: $665 \div 9 = 73$ (остаток $8$). Условия задачи выполнены.

Ответ: 665