Номер 27.44, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.44, страница 228.

Условие.

27.44. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые невозможно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел.

Решение.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методами теории чисел, в частности, сравнениями по модулю. Мы покажем, что существуют целые числа, которые не могут быть остатком от деления суммы двух кубов на некоторое число. Если мы найдем такой класс чисел, образующий бесконечную арифметическую прогрессию, то докажем утверждение.

Рассмотрим остатки от деления кубов натуральных чисел на 9. Пусть $n$ — любое натуральное число. Вычислим, какие остатки может давать $n^3$ при делении на 9.

• Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n = 3k$ для некоторого целого $k \ge 1$. Тогда $n^3 = (3k)^3 = 27k^3 = 9(3k^3)$, следовательно, $n^3 \equiv 0 \pmod{9}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $n = 3k+1$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда $n^3 = (3k+1)^3 = (3k)^3 + 3(3k)^2(1) + 3(3k)(1)^2 + 1^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 9(3k^3 + 3k^2 + k) + 1$. Следовательно, $n^3 \equiv 1 \pmod{9}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $n = 3k+2$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда $n^3 = (3k+2)^3 = (3k)^3 + 3(3k)^2(2) + 3(3k)(2)^2 + 2^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 = 9(3k^3 + 6k^2 + 4k) + 8$. Следовательно, $n^3 \equiv 8 \pmod{9}$. (Заметим, что $8 \equiv -1 \pmod{9}$).

Таким образом, куб любого натурального числа при делении на 9 может давать только остатки 0, 1 или 8.

Теперь рассмотрим сумму кубов двух натуральных чисел, $a^3 + b^3$, по модулю 9. Возможные остатки этой суммы являются суммами пар остатков из множества $\{0, 1, 8\}$:

• $0 + 0 = 0$
• $0 + 1 = 1$
• $0 + 8 = 8$
• $1 + 1 = 2$
• $1 + 8 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$
• $8 + 8 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$

Итак, сумма кубов двух натуральных чисел при делении на 9 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 или 8.

Это означает, что любое натуральное число, которое при делении на 9 дает остаток 3, 4, 5 или 6, не может быть представлено в виде суммы кубов двух натуральных чисел.

Например, рассмотрим все числа вида $9k + 4$, где $k$ — любое натуральное число ($k=1, 2, 3, \ldots$). Эти числа образуют бесконечную арифметическую прогрессию: 13, 22, 31, 40, и так далее. Каждое из этих чисел при делении на 9 дает остаток 4, а значит, ни одно из них не может быть представлено в виде суммы кубов двух натуральных чисел.

Поскольку мы нашли бесконечное множество таких чисел (например, все числа вида $9k+4$), утверждение доказано.

Ответ: Мы доказали, что куб любого натурального числа по модулю 9 может быть равен только 0, 1 или 8. Следовательно, сумма двух кубов по модулю 9 может быть равна только 0, 1, 2, 7 или 8. Это означает, что любое натуральное число, дающее при делении на 9 остаток 3, 4, 5 или 6, не может быть представлено в виде суммы двух кубов. Числа, например, вида $9k+4$ для $k \in \mathbb{N}$, образуют бесконечное множество, и ни одно из них не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.