Вопросы?, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - страница 233.

Условие.

1. Какое число называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$?

2. Чему равен НОД $(a; b)$, если $a : b$?

3. Опишите алгоритм Евклида.

4. Какое число называют наименьшим общим кратным чисел $a$ и $b$?

5. Чему равно произведение НОК $(a; b) \cdot$ НОД $(a; b)$?

6. Какие числа называют взаимно простыми?

7. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Решение.

1. Какое число называют наибольшим общим делителем чисел a и b?

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел $a$ и $b$ (из которых хотя бы одно не равно нулю) называется наибольшее натуральное число, на которое оба числа $a$ и $b$ делятся без остатка. Например, для чисел 18 и 24 общими делителями являются числа 1, 2, 3 и 6. Самое большое из них 6, следовательно, НОД(18, 24) = 6.
Ответ: Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$.

2. Чему равен НОД (a; b), если a : b?

Знак «:» в данном контексте означает деление нацело. Если число $a$ делится на число $b$ ($a \vdots b$), то $b$ является делителем числа $a$. В то же время, наибольшим делителем самого числа $b$ является само число $b$. Поскольку $b$ является делителем и для $a$, и для $b$, и при этом оно является максимально возможным делителем для $b$, то оно и будет их наибольшим общим делителем.
Ответ: $b$.

3. Опишите алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида — это эффективный метод для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Алгоритм основан на последовательном делении с остатком. Пусть даны два числа $a$ и $b$, и пусть $a > b$.
1. Делим большее число $a$ на меньшее $b$ и находим остаток $r_1$.
2. Если остаток $r_1$ равен 0, то НОД равен $b$.
3. Если остаток $r_1$ не равен 0, то теперь делим $b$ на $r_1$ и находим новый остаток $r_2$.
4. Процесс продолжается до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. Последний ненулевой остаток и будет являться НОД исходных чисел.
Пример: Найти НОД(1071, 462).
$1071 = 2 \cdot 462 + 147$
$462 = 3 \cdot 147 + 21$
$147 = 7 \cdot 21 + 0$
Последний ненулевой остаток — 21. Значит, НОД(1071, 462) = 21.
Ответ: Это алгоритм нахождения НОД двух чисел, основанный на свойстве, что НОД($a$, $b$) равен НОД($b$, $r$), где $r$ — остаток от деления $a$ на $b$.

4. Какое число называют наименьшим общим кратным чисел a и b?

Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел $a$ и $b$ называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, для чисел 6 и 8 кратными являются числа 24, 48, 72, ... Наименьшее из них — 24, следовательно, НОК(6, 8) = 24.
Ответ: Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел ($a$ и $b$) без остатка.

5. Чему равно произведение НОК (a; b) · НОД (a; b)?

Произведение наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел $a$ и $b$ всегда равно произведению самих этих чисел. Это одно из фундаментальных свойств теории чисел.
Формула: НОК($a, b$) $\cdot$ НОД($a, b$) = $a \cdot b$.
Ответ: Произведению чисел $a$ и $b$, то есть $a \cdot b$.

6. Какие числа называют взаимно простыми?

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у них нет никаких общих делителей, кроме единицы. Например, числа 9 и 10 являются взаимно простыми, так как делители числа 9 — это {1, 3, 9}, а делители числа 10 — это {1, 2, 5, 10}. Их единственный общий делитель — это 1.
Ответ: Числа, наибольший общий делитель которых равен 1.

7. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) взаимно простых чисел $a$ и $b$ можно использовать формулу, связывающую НОК и НОД: НОК($a, b$) $\cdot$ НОД($a, b$) = $a \cdot b$.
По определению, для взаимно простых чисел $a$ и $b$ их НОД($a, b$) = 1. Подставив это значение в формулу, получаем:
НОК($a, b$) $\cdot$ 1 = $a \cdot b$
Следовательно, НОК($a, b$) = $a \cdot b$.
Таким образом, наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.
Ответ: Их произведению, то есть $a \cdot b$.