Номер 28.3, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.3, страница 233.

Условие.

28.3. Докажите, что для любого $n \in N$:

1) $НОД (n; n + 1) = 1$;

2) $НОД (2n; 2n + 2) = 2$.

Решение.

1) НОД (n; n + 1) = 1;

Пусть $d = \text{НОД}(n; n+1)$. По определению наибольшего общего делителя (НОД), $d$ является натуральным числом, на которое делятся и $n$, и $n+1$.

Это означает, что $n$ делится на $d$ ($n \vdots d$), и $n+1$ делится на $d$ ($(n+1) \vdots d$).

Из свойств делимости следует, что если два числа делятся на $d$, то и их разность также делится на $d$.

Рассмотрим разность чисел $n+1$ и $n$:
$(n+1) - n = 1$.

Следовательно, их разность, равная 1, тоже должна делиться на $d$.

Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Таким образом, $d=1$.
Это доказывает, что $\text{НОД}(n; n+1) = 1$.

Ответ: Доказано, что $\text{НОД}(n; n+1) = 1$.

2) НОД (2n; 2n + 2) = 2.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся одним из свойств НОД: $\text{НОД}(ka; kb) = k \cdot \text{НОД}(a; b)$, где $k$ - общий натуральный множитель.

В выражении $\text{НОД}(2n; 2n+2)$ мы можем вынести общий множитель 2:
$\text{НОД}(2n; 2n+2) = \text{НОД}(2 \cdot n; 2 \cdot (n+1))$.

Применяя указанное свойство, получаем:
$\text{НОД}(2 \cdot n; 2 \cdot (n+1)) = 2 \cdot \text{НОД}(n; n+1)$.

Как было доказано в пункте 1), $\text{НОД}(n; n+1) = 1$ для любого натурального $n$.

Подставим этот результат в наше равенство:
$2 \cdot \text{НОД}(n; n+1) = 2 \cdot 1 = 2$.

Следовательно, $\text{НОД}(2n; 2n+2) = 2$.

Ответ: Доказано, что $\text{НОД}(2n; 2n+2) = 2$.