Номер 28.8, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.8, страница 234.

Условие.

28.8. Целое число $n$ кратно 6 и кратно 8. Верно ли, что $n$ кратно 48?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно проанализировать свойства делимости.

Если целое число $n$ кратно 6 и кратно 8, это означает, что оно делится и на 6, и на 8 без остатка. Из этого следует, что число $n$ должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) чисел 6 и 8.

Найдем НОК(6, 8). Для этого разложим числа 6 и 8 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях. В нашем случае это $2^3$ и $3^1$.
$НОК(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Следовательно, любое число $n$, которое кратно 6 и 8, обязательно должно быть кратно 24. Это значит, что $n$ может быть равно 24, 48, 72, 96 и так далее (т.е. $n = 24k$, где $k$ — целое число).

Теперь проверим, верно ли, что такое число $n$ всегда будет кратно 48. Для того чтобы утверждение было верным, оно должно выполняться для всех без исключения чисел $n$, кратных 24. Однако, если мы возьмем самое простое значение $n = 24$:
- 24 кратно 6 ($24 / 6 = 4$)
- 24 кратно 8 ($24 / 8 = 3$)
- Но 24 не кратно 48, так как деление 24 на 48 не дает целого числа.

Мы нашли контрпример ($n=24$), который удовлетворяет исходному условию, но не удовлетворяет заключению. Следовательно, утверждение "если целое число n кратно 6 и кратно 8, то n кратно 48" является неверным.

Ответ: нет.