Номер 28.12, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.12, страница 234.

Условие.

28.12. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения:

1) $n^2 - n$ кратно 2;

2) $n^3 + 11n$ кратно 6;

3) $(n^2 - 1)(n^2 - 2n)$ кратно 24.

Решение.

1) Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения $n^2-n$ кратно 2;

Для доказательства разложим данное выражение на множители:
$n^2 - n = n(n-1)$

В результате мы получили произведение двух последовательных целых чисел: $n-1$ и $n$. По определению, среди любых двух последовательных целых чисел одно всегда является четным (т.е. делится на 2). Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным.

Следовательно, выражение $n(n-1)$ всегда кратно 2 при любом целом $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения $n^3 + 11n$ кратно 6;

Чтобы доказать, что выражение кратно 6, необходимо показать, что оно одновременно кратно 2 и 3, так как числа 2 и 3 взаимно просты и $2 \cdot 3 = 6$.

Преобразуем исходное выражение, выделив слагаемое, которое делится на 6:
$n^3 + 11n = n^3 - n + 12n$

Слагаемое $12n$ очевидно делится на 6 при любом целом $n$. Теперь рассмотрим слагаемое $n^3 - n$. Разложим его на множители:
$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$

Это произведение трех последовательных целых чисел.

• Среди трех последовательных целых чисел всегда есть как минимум одно четное число, поэтому их произведение делится на 2.
• Среди трех последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 3, поэтому их произведение делится на 3.

Так как произведение $(n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится на 6.

Исходное выражение $n^3 + 11n$ представляет собой сумму двух слагаемых, $(n^3 - n)$ и $12n$, каждое из которых делится на 6. Следовательно, их сумма также делится на 6.

Ответ: Доказано.

3) Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения $(n^2 - 1)(n^2 - 2n)$ кратно 24.

Чтобы доказать, что выражение кратно 24, необходимо показать, что оно одновременно кратно 3 и 8, так как числа 3 и 8 взаимно просты и $3 \cdot 8 = 24$.

Сначала разложим выражение на множители:
$(n^2 - 1)(n^2 - 2n) = (n-1)(n+1) \cdot n(n-2)$

Переставим множители в порядке возрастания:
$(n-2)(n-1)n(n+1)$

Это произведение четырех последовательных целых чисел.

Докажем делимость на 3. Среди любых четырех последовательных целых чисел обязательно найдется хотя бы одно, кратное 3. Следовательно, их произведение делится на 3.

Докажем делимость на 8. Среди любых четырех последовательных целых чисел есть ровно два четных числа. Одно из этих чисел имеет вид $2k$, а следующее за ним четное — $2k+2 = 2(k+1)$. Их произведение равно $2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Выражение $k(k+1)$ является произведением двух последовательных целых чисел, поэтому оно всегда четное. То есть, $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого $m$. Тогда произведение двух четных чисел равно $4(2m) = 8m$, что всегда делится на 8. Таким образом, произведение четырех последовательных целых чисел всегда делится на 8.

Поскольку выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)$ делится и на 3, и на 8, оно делится и на их произведение, то есть на 24.

Ответ: Доказано.