Номер 28.17, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.17, страница 234.

Условие.

28.17. Из 100 последовательных натуральных чисел выбрали 51 число. Докажите, что среди выбранных чисел есть такие числа $a$ и $b$, что
НОД $(a; b)=1$.

Решение.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

Рассмотрим 100 последовательных натуральных чисел. Мы можем разбить эти числа на 50 непересекающихся пар, где каждая пара состоит из двух соседних чисел. Например, если мы рассматриваем числа от 1 до 100, то пары будут выглядеть так: $\{1, 2\}, \{3, 4\}, \{5, 6\}, \ldots, \{99, 100\}$.

Будем рассматривать эти 50 пар как 50 «клеток». По условию задачи, из 100 чисел выбирается 51 число. Эти 51 число будут нашими «кроликами».

Согласно принципу Дирихле, если число «кроликов» (51) больше числа «клеток» (50), то найдется по крайней мере одна «клетка», в которой окажется больше одного «кролика». В нашем случае это означает, что найдется пара, оба числа из которой были выбраны.

Пусть эти два выбранных числа — $a$ и $b$. Так как они составляют одну из наших пар, они являются последовательными натуральными числами, то есть $b = a+1$.

Теперь докажем, что любые два последовательных натуральных числа являются взаимно простыми, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Пусть $d = \text{НОД}(a, a+1)$. По определению НОД, число $d$ является делителем как $a$, так и $a+1$. Если число делит два других числа, оно также должно делить и их разность. Следовательно, $d$ должен делить разность $(a+1) - a = 1$.

Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Отсюда следует, что $d=1$.

Таким образом, мы доказали, что среди 51 выбранного числа всегда найдется пара последовательных чисел $a$ и $b$, для которых $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.