Номер 28.10, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.10, страница 234.

Условие.

28.10. Докажите, что при любом $n \in N$ является несократимой дробь:

1) $\frac{3n+1}{15n+14}$;

2) $\frac{16n+1}{40n+2}$.

Решение.

1) Чтобы доказать, что дробь $\frac{3n+1}{15n+14}$ является несократимой при любом натуральном $n$, необходимо показать, что её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Пусть $d = \text{НОД}(3n+1, 15n+14)$.

Воспользуемся свойством НОД, которое гласит, что $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a, b-ka)$ для любого целого числа $k$. Применим это свойство, чтобы упростить выражение. Вычтем из знаменателя числитель, умноженный на 5:

$d = \text{НОД}(3n+1, (15n+14) - 5 \cdot (3n+1))$

Выполним вычисления в правой части:

$(15n+14) - 5(3n+1) = 15n + 14 - 15n - 5 = 9$

Таким образом, исходный НОД равен $\text{НОД}(3n+1, 9)$. Это означает, что $d$ должен быть делителем числа 9. Возможные значения для $d$: 1, 3, 9.

Теперь проверим, может ли $3n+1$ делиться на 3. Выражение $3n$ всегда кратно 3 для любого натурального $n$. Следовательно, выражение $3n+1$ при делении на 3 всегда даёт остаток 1. Это означает, что $3n+1$ не делится на 3 ни при каком $n$.

Поскольку $3n+1$ не делится на 3, то он не может делиться и на 9. Значит, общий делитель $d$ числителя и знаменателя не может быть равен 3 или 9.

Единственная оставшаяся возможность – $d=1$.

Так как $\text{НОД}(3n+1, 15n+14)=1$, дробь является несократимой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Аналогично докажем, что дробь $\frac{16n+1}{40n+2}$ является несократимой. Для этого нужно показать, что $\text{НОД}(16n+1, 40n+2) = 1$.

Пусть $d = \text{НОД}(16n+1, 40n+2)$.

Применим алгоритм Евклида, используя свойство $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a, b-ka)$.

Шаг 1: Вычтем из второго числа первое, умноженное на 2 (так как $40 = 2 \cdot 16 + 8$).

$d = \text{НОД}(16n+1, (40n+2) - 2 \cdot (16n+1))$

$(40n+2) - 2(16n+1) = 40n+2 - 32n - 2 = 8n$

Таким образом, $d = \text{НОД}(16n+1, 8n)$.

Шаг 2: Теперь вычтем из первого числа второе, умноженное на 2 (так как $16 = 2 \cdot 8$).

$d = \text{НОД}((16n+1) - 2 \cdot (8n), 8n)$

$(16n+1) - 2(8n) = 16n+1 - 16n = 1$

Следовательно, $d = \text{НОД}(1, 8n)$.

Наибольший общий делитель единицы и любого натурального числа $8n$ (при $n \in \mathbb{N}$) всегда равен 1.

Таким образом, $d=1$, что означает, что числитель и знаменатель не имеют общих делителей кроме 1. Следовательно, дробь несократима.

Ответ: Доказано.