Номер 28.4, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.4, страница 233.

Условие.

28.4. Докажите, что для любого $n \in N$:

1) $\text{НОД}(n; 2n + 1) = 1$;

2) $\text{НОД}(8n + 4; 4n) = 4$.

Решение.

1) Докажите, что НОД($n; 2n + 1$) = 1.

Для доказательства воспользуемся одним из основных свойств наибольшего общего делителя (НОД), которое является шагом в алгоритме Евклида: НОД($a; b$) = НОД($a; b - ka$) для любых целых чисел $a, b$ и $k$. Это свойство означает, что НОД двух чисел не изменится, если мы заменим одно из чисел на его разность с другим числом, умноженным на любой целый коэффициент.

Применим это свойство к паре чисел $n$ и $2n + 1$. Возьмем $k=2$ и вычтем из второго числа ($2n + 1$) первое число ($n$), умноженное на 2:

НОД($n; 2n + 1$) = НОД($n; (2n + 1) - 2 \cdot n$)

Упростим выражение во второй части пары:

НОД($n; 2n + 1 - 2n$) = НОД($n; 1$)

Наибольший общий делитель любого натурального числа $n$ и числа 1 всегда равен 1, так как единственный натуральный делитель числа 1 — это само число 1.

Следовательно, НОД($n; 2n + 1$) = 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажите, что НОД($8n + 4; 4n$) = 4.

Снова воспользуемся свойством наибольшего общего делителя: НОД($a; b$) = НОД($a - kb; b$).

Применим это свойство к паре чисел $8n + 4$ и $4n$. Возьмем $k=2$ и вычтем из первого числа ($8n + 4$) второе число ($4n$), умноженное на 2:

НОД($8n + 4; 4n$) = НОД($(8n + 4) - 2 \cdot (4n); 4n$)

Упростим выражение в первой части пары:

НОД($8n + 4 - 8n; 4n$) = НОД($4; 4n$)

Теперь нам нужно найти наибольший общий делитель чисел 4 и $4n$. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n \in N$), то $4n$ всегда является кратным 4, то есть $4n$ делится на 4 без остатка.

Когда одно из двух натуральных чисел делится на другое, их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел (которое является делителем). В данном случае 4 делит $4n$, поэтому их НОД равен 4.

Следовательно, НОД($8n + 4; 4n$) = 4, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.