Номер 27.49, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.49, страница 228.

Условие.

27.49. Какой цифрой оканчивается значение выражения ($n$ — натуральное число):

1) $9^{200}$,

2) $7^{500}$?

Решение.

1) Чтобы найти последнюю цифру значения выражения $9^{200}$, рассмотрим, как меняется последняя цифра при возведении числа 9 в натуральную степень. Для этого выпишем несколько первых степеней:

• $9^1 = 9$
• $9^2 = 81$
• $9^3 = 729$
• $9^4 = 6561$

Можно заметить, что последние цифры степеней числа 9 чередуются: 9, 1, 9, 1, и так далее. Таким образом, если показатель степени — нечетное число, то последняя цифра равна 9, а если показатель степени — четное число, то последняя цифра равна 1.
В выражении $9^{200}$ показатель степени 200 является четным числом. Следовательно, значение выражения оканчивается на цифру 1.

Ответ: 1

2) Чтобы найти последнюю цифру значения выражения $7^{500}$, рассмотрим, как меняется последняя цифра при возведении числа 7 в натуральную степень. Выпишем несколько первых степеней:

• $7^1 = 7$
• $7^2 = 49$
• $7^3 = 343$
• $7^4 = 2401$
• $7^5 = 16807$

Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом (периодом) длиной 4: 7, 9, 3, 1.
Чтобы определить, какой будет последняя цифра у числа $7^{500}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 500 на длину цикла, то есть на 4.
$500 \div 4 = 125$ (остаток 0).
Так как остаток от деления равен 0, это означает, что цикл повторяется целое число раз, и последняя цифра будет такой же, как у последнего (четвертого) члена последовательности, то есть 1. (Для справки: остатку 1 соответствует первая цифра цикла (7), остатку 2 — вторая (9), остатку 3 — третья (3)).
Следовательно, значение выражения $7^{500}$ оканчивается на цифру 1.

Ответ: 1