Номер 27.42, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.42, страница 228.

Условие.

27.42. При делении натурального числа $n$ на 9 остаток равен неполному частному, при делении $n$ на 14 остаток также равен неполному частному. Найдите все возможные значения $n$.

Решение.

Пусть $n$ – искомое натуральное число.

Согласно первому условию, при делении числа $n$ на 9 неполное частное равно остатку. Обозначим неполное частное как $q_1$, а остаток как $r_1$. Тогда можно записать равенство:$n = 9 \cdot q_1 + r_1$. По условию задачи $q_1 = r_1$. Обозначим это общее значение буквой $k$. Тогда равенство примет вид:$n = 9k + k = 10k$. По определению деления с остатком, остаток всегда меньше делителя, то есть $0 \le r_1 < 9$. Поскольку $r_1 = k$, то $0 \le k < 9$. Так как $n$ — натуральное число, $n > 0$, значит и $k > 0$. Следовательно, $k$ может быть любым целым числом от 1 до 8.

Согласно второму условию, при делении числа $n$ на 14 неполное частное также равно остатку. Обозначим неполное частное как $q_2$, а остаток как $r_2$. Тогда:$n = 14 \cdot q_2 + r_2$. По условию задачи $q_2 = r_2$. Обозначим это общее значение буквой $m$. Тогда равенство примет вид:$n = 14m + m = 15m$. Остаток должен быть меньше делителя, то есть $0 \le r_2 < 14$. Поскольку $r_2 = m$, то $0 \le m < 14$. Так как $n$ — натуральное число, $m > 0$. Следовательно, $m$ может быть любым целым числом от 1 до 13.

Мы получили два выражения для числа $n$: $n = 10k$ и $n = 15m$. Приравняем их:$10k = 15m$. Разделим обе части равенства на 5:$2k = 3m$.

Так как числа 2 и 3 являются взаимно простыми, из равенства $2k = 3m$ следует, что $k$ должно быть кратно 3, а $m$ должно быть кратно 2. Можно записать это в виде $k = 3j$ и $m = 2j$ для некоторого целого числа $j$.

Теперь воспользуемся найденными ранее ограничениями для $k$ и $m$:1. $1 \le k \le 8$. Подставив $k = 3j$, получаем $1 \le 3j \le 8$, откуда $\frac{1}{3} \le j \le \frac{8}{3}$. Поскольку $j$ — целое, то $j$ может быть равно 1 или 2.2. $1 \le m \le 13$. Подставив $m = 2j$, получаем $1 \le 2j \le 13$, откуда $\frac{1}{2} \le j \le \frac{13}{2}$. Поскольку $j$ — целое, то $j$ может быть равно 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, $j$ должно принадлежать пересечению множеств $\{1, 2\}$ и $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Таким образом, возможные значения для $j$ — это 1 и 2.

Найдем соответствующие значения $n$:

- Если $j = 1$, то $k = 3 \cdot 1 = 3$. Тогда $n = 10k = 10 \cdot 3 = 30$.
Проверка: $30 : 9 = 3$ (ост. 3). Частное равно остатку. $30 : 14 = 2$ (ост. 2). Частное равно остатку. Условия выполнены.

- Если $j = 2$, то $k = 3 \cdot 2 = 6$. Тогда $n = 10k = 10 \cdot 6 = 60$.
Проверка: $60 : 9 = 6$ (ост. 6). Частное равно остатку. $60 : 14 = 4$ (ост. 4). Частное равно остатку. Условия выполнены.

Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 30, 60.