Номер 27.38, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.38, страница 228.
№27.38 (с. 228)
Условие. №27.38 (с. 228)
скриншот условия
 
                                27.38. Числа $x_1, x_2, \dots, x_k$ не делятся нацело на 5, а значение выражения $x_1^4 + x_2^4 + \dots + x_k^4$ кратно 5. Докажите, что $k:5$.
Решение. №27.38 (с. 228)
По условию задачи, числа $x_1, x_2, ..., x_k$ не делятся нацело на 5. Это означает, что остаток от деления любого из этих чисел на 5 не равен нулю. Следовательно, остаток от деления $x_i$ на 5 может быть 1, 2, 3 или 4.
Рассмотрим, какой остаток дает $x_i^4$ при делении на 5. Для этого воспользуемся Малой теоремой Ферма, которая гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
В нашем случае $p=5$ (простое число), а числа $x_i$ по условию не делятся на 5. Применяя теорему, получаем для каждого $i \in \{1, 2, ..., k\}$:
$x_i^{5-1} \equiv x_i^4 \equiv 1 \pmod{5}$
Этот результат можно также проверить прямым вычислением для каждого возможного остатка $x_i$ по модулю 5:
Если $x_i \equiv 1 \pmod{5}$, то $x_i^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
Если $x_i \equiv 2 \pmod{5}$, то $x_i^4 \equiv 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.
Если $x_i \equiv 3 \pmod{5}$, то $x_i^4 \equiv 3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{5}$.
Если $x_i \equiv 4 \pmod{5}$ (что эквивалентно $x_i \equiv -1 \pmod{5}$), то $x_i^4 \equiv (-1)^4 = 1 \pmod{5}$.
Таким образом, каждое слагаемое в выражении $x_1^4 + x_2^4 + ... + x_k^4$ сравнимо с 1 по модулю 5.
По условию, значение выражения $S = x_1^4 + x_2^4 + ... + x_k^4$ кратно 5, что в терминах сравнений означает $S \equiv 0 \pmod{5}$.
Теперь рассмотрим сумму по модулю 5:
$S = x_1^4 + x_2^4 + ... + x_k^4 \equiv \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{k \text{ слагаемых}} \pmod{5}$
Отсюда следует, что $S \equiv k \pmod{5}$.
Мы имеем два сравнения для $S$: $S \equiv 0 \pmod{5}$ (из условия) и $S \equiv k \pmod{5}$ (из нашего анализа). Следовательно, мы можем приравнять их правые части:
$k \equiv 0 \pmod{5}$
Это означает, что число $k$ делится на 5, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 27.38 расположенного на странице 228 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №27.38 (с. 228), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    