Номер 27.38, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.38, страница 228.

Условие.

27.38. Числа $x_1, x_2, \dots, x_k$ не делятся нацело на 5, а значение выражения $x_1^4 + x_2^4 + \dots + x_k^4$ кратно 5. Докажите, что $k:5$.

Решение.

По условию задачи, числа $x_1, x_2, ..., x_k$ не делятся нацело на 5. Это означает, что остаток от деления любого из этих чисел на 5 не равен нулю. Следовательно, остаток от деления $x_i$ на 5 может быть 1, 2, 3 или 4.

Рассмотрим, какой остаток дает $x_i^4$ при делении на 5. Для этого воспользуемся Малой теоремой Ферма, которая гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашем случае $p=5$ (простое число), а числа $x_i$ по условию не делятся на 5. Применяя теорему, получаем для каждого $i \in \{1, 2, ..., k\}$:

$x_i^{5-1} \equiv x_i^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Этот результат можно также проверить прямым вычислением для каждого возможного остатка $x_i$ по модулю 5:

Если $x_i \equiv 1 \pmod{5}$, то $x_i^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{5}$.

Если $x_i \equiv 2 \pmod{5}$, то $x_i^4 \equiv 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Если $x_i \equiv 3 \pmod{5}$, то $x_i^4 \equiv 3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{5}$.

Если $x_i \equiv 4 \pmod{5}$ (что эквивалентно $x_i \equiv -1 \pmod{5}$), то $x_i^4 \equiv (-1)^4 = 1 \pmod{5}$.

Таким образом, каждое слагаемое в выражении $x_1^4 + x_2^4 + ... + x_k^4$ сравнимо с 1 по модулю 5.

По условию, значение выражения $S = x_1^4 + x_2^4 + ... + x_k^4$ кратно 5, что в терминах сравнений означает $S \equiv 0 \pmod{5}$.

Теперь рассмотрим сумму по модулю 5:

$S = x_1^4 + x_2^4 + ... + x_k^4 \equiv \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{k \text{ слагаемых}} \pmod{5}$

Отсюда следует, что $S \equiv k \pmod{5}$.

Мы имеем два сравнения для $S$: $S \equiv 0 \pmod{5}$ (из условия) и $S \equiv k \pmod{5}$ (из нашего анализа). Следовательно, мы можем приравнять их правые части:

$k \equiv 0 \pmod{5}$

Это означает, что число $k$ делится на 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.