Номер 27.39, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.39, страница 228.

Условие.

27.39. Докажите, что ни при каком натуральном n значение выражения $1 + n + n^2 + n^3$ не является степенью числа 3.

Решение.

Докажем утверждение от противного. Предположим, что существует такое натуральное число $n$, при котором значение выражения $1 + n + n^2 + n^3$ является степенью числа 3. То есть, существует целое неотрицательное число $k$ такое, что:

$1 + n + n^2 + n^3 = 3^k$

Разложим левую часть уравнения на множители:

$ (1 + n) + n^2(1 + n) = (1 + n)(1 + n^2) $

Таким образом, мы получаем уравнение:

$ (1 + n)(1 + n^2) = 3^k $

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. При $n=1$ выражение равно $1+1+1^2+1^3 = 4$, что не является степенью числа 3. При $n \ge 2$, имеем $1+n \ge 3$ и $1+n^2 \ge 5$. Произведение $(1+n)(1+n^2)$ будет больше $3^1=3$ и $3^2=9$, так что $k \ge 3$.

Так как 3 — простое число, из равенства $(1+n)(1+n^2) = 3^k$ следует, что каждый из множителей $(1+n)$ и $(1+n^2)$ также должен быть степенью числа 3. Пусть:

$1 + n = 3^a$

$1 + n^2 = 3^b$

где $a$ и $b$ — натуральные числа, так как при $n \ge 2$ оба множителя больше 1. Кроме того, для $n \ge 2$ справедливо неравенство $n^2 > n$, из которого следует, что $1 + n^2 > 1 + n$, а значит $3^b > 3^a$, то есть $b > a$.

Из первого уравнения выразим $n$:

$n = 3^a - 1$

Подставим это выражение для $n$ во второе уравнение:

$1 + (3^a - 1)^2 = 3^b$

$1 + ((3^a)^2 - 2 \cdot 3^a + 1) = 3^b$

$1 + 3^{2a} - 2 \cdot 3^a + 1 = 3^b$

$3^{2a} - 2 \cdot 3^a + 2 = 3^b$

Рассмотрим это уравнение. Так как $a \ge 1$ (поскольку $1+n = 3^a$ и $n \ge 2$), то $3^{2a}$ и $2 \cdot 3^a$ делятся на 3. Проверим делимость левой части на 3:

$3^{2a} - 2 \cdot 3^a + 2 \equiv 0 - 2 \cdot 0 + 2 \pmod 3$

$3^{2a} - 2 \cdot 3^a + 2 \equiv 2 \pmod 3$

Таким образом, левая часть уравнения при делении на 3 дает остаток 2.

Правая часть уравнения $3^b$, где $b$ — натуральное число, всегда делится на 3 нацело:

$3^b \equiv 0 \pmod 3$

Мы получили противоречие: $2 \equiv 0 \pmod 3$. Это означает, что наше исходное предположение неверно.

Следовательно, ни при каком натуральном $n$ значение выражения $1 + n + n^2 + n^3$ не может быть степенью числа 3.

Ответ: Утверждение доказано.