Номер 27.37, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.37, страница 228.

Условие.

27.37. О числах $m, n, p, q, r, s$ известно, что $m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + r^2 = s^2$. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел чётное.

Решение.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что все шесть чисел $m, n, p, q, r, s$ являются нечётными.

Рассмотрим, какой остаток даёт квадрат нечётного числа при делении на 8. Любое нечётное число $k$ можно представить в виде $k = 2a + 1$, где $a$ — целое число. Тогда его квадрат равен:

$k^2 = (2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 4a(a + 1) + 1$

Выражение $a(a+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел, одно из которых обязательно чётно. Следовательно, их произведение также чётно, то есть $a(a+1) = 2b$ для некоторого целого числа $b$.

Подставим это в формулу для квадрата нечётного числа:

$k^2 = 4(2b) + 1 = 8b + 1$

Это означает, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1. Используя сравнения по модулю, это можно записать как $k^2 \equiv 1 \pmod{8}$.

Теперь вернёмся к исходному равенству $m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + r^2 = s^2$ и рассмотрим его по модулю 8.

Поскольку мы предположили, что все числа $m, n, p, q, r, s$ нечётные, то квадрат каждого из них сравним с 1 по модулю 8.

Для левой части равенства получим:

$m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + r^2 \equiv 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \equiv 5 \pmod{8}$

Для правой части равенства получим:

$s^2 \equiv 1 \pmod{8}$

Таким образом, наше равенство превращается в сравнение $5 \equiv 1 \pmod{8}$. Это сравнение неверно, так как 5 и 1 дают разные остатки при делении на 8.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что все числа $m, n, p, q, r, s$ нечётные, было неверным. Значит, хотя бы одно из этих чисел является чётным.

Ответ: Доказательство основано на рассмотрении остатков от деления на 8. Если предположить, что все числа нечётные, то левая часть равенства $m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + r^2 = s^2$ будет сравнима с 5 по модулю 8, а правая — с 1 по модулю 8. Это приводит к противоречию $5 \equiv 1 \pmod{8}$, из чего следует, что исходное предположение неверно и хотя бы одно из чисел является чётным.